Sistema de ecuaciones con 3 incógnitas: ejercicios resueltos

Las ecuaciones son una parte fundamental de las matemáticas y se utilizan para resolver problemas en diversos campos, desde la física hasta la economía. En particular, los sistemas de ecuaciones con 3 incógnitas son comunes en la resolución de problemas de álgebra lineal. En este artículo, te mostraremos cómo resolver ejercicios de sistemas de ecuaciones con 3 incógnitas.

¿Qué es un sistema de ecuaciones con 3 incógnitas?

Un sistema de ecuaciones con 3 incógnitas es un conjunto de tres ecuaciones que contienen tres variables desconocidas. La solución del sistema es el conjunto de valores de las variables que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

Por ejemplo, el siguiente es un sistema de ecuaciones con 3 incógnitas:

x + y + z = 6
2x - y + 3z = 8
3x + 2y - z = 2

La solución de este sistema son los valores de x, y y z que hacen que las tres ecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo.

Resolución de sistemas de ecuaciones con 3 incógnitas

Existen diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones con 3 incógnitas, entre ellos están: el método de sustitución, el método de igualación y el método de eliminación. A continuación, explicaremos cada uno de estos métodos con ejemplos.

Método de sustitución

En este método, se despeja una variable en una de las ecuaciones y se sustituye en las otras dos ecuaciones. Luego se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resulta.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema:

x + y + z = 6
2x - y + 3z = 8
3x + 2y - z = 2

Si despejamos la variable z en la primera ecuación, obtenemos:

z = 6 - x - y

Luego, sustituimos esta expresión en las otras dos ecuaciones:

2x - y + 3(6 - x - y) = 8
3x + 2y - (6 - x - y) = 2

Simplificamos y resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

5x - 4y = 10
2x + y = 4

Despejando y en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, obtenemos:

5x - 4(4 - 2x) = 10

Resolviendo esta ecuación, encontramos que x = 2. Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, obtenemos que y = 0. Finalmente, sustituyendo x e y en la primera ecuación, encontramos que z = 4. Por lo tanto, la solución del sistema es x = 2, y = 0, z = 4.

Método de igualación

En este método, se iguala una variable en una de las ecuaciones a una variable en otra ecuación. Luego se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resulta.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema:

x + y + z = 6
2x - y + 3z = 8
3x + 2y - z = 2

Si igualamos z en la primera ecuación a z en la segunda ecuación, obtenemos:

z = 2x + y - 4

Luego, igualamos z en la primera ecuación a z en la tercera ecuación:

z = 3x + 2y - 2

Igualando estas dos expresiones, obtenemos:

2x + y - 4 = 3x + 2y - 2

Resolviendo esta ecuación, encontramos que x = 2. Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones originales y resolviendo para y y z, encontramos que la solución del sistema es x = 2, y = 0, z = 4.

Método de eliminación

En este método, se eliminan una de las variables sumando o restando las ecuaciones. Luego se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resulta.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema:

x + y + z = 6
2x - y + 3z = 8
3x + 2y - z = 2

Si sumamos la primera y la segunda ecuación, obtenemos:

3x + 4z = 14

Luego, si sumamos la segunda y la tercera ecuación, obtenemos:

5x + y = 10

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, encontramos que x = 2 y y = 0. Sustituyendo estos valores en una de las ecuaciones originales y resolviendo para z, encontramos que z = 4. Por lo tanto, la solución del sistema es x = 2, y = 0, z = 4.

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones con 3 incógnitas

1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con 3 incógnitas:

x + y - z = 4
2x - y + 3z = 1
3x + 2y - 2z = 2

Solución:

Si despejamos la variable z en la primera ecuación, obtenemos:

z = x + y - 4

Luego, si despejamos la variable y en la segunda ecuación, obtenemos:

y = 2x + 3z - 1

Sustituyendo estas expresiones en la tercera ecuación, obtenemos:

3x + 2(2x + 3z - 1) - 2(x + y - 4) = 2

Simplificando y resolviendo para z, encontramos que z = -1. Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones originales y resolviendo para x e y, encontramos que x = 2 y y = 3. Por lo tanto, la solución del sistema es x = 2, y = 3, z = -1.

2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con 3 incógnitas:

x + y + z = 3
2x + y + z = 5
3x + 2y - z = 1

Solución:

Si sumamos la primera y la segunda ecuación, obtenemos:

3x + 2y + 2z = 8

Restando la tercera ecuación de esta expresión, obtenemos:

3x + 2y + 3z = 9

Si restamos la primera ecuación de la segunda ecuación, obtenemos:

x = 2

Sustituyendo este valor en la primera ecuación, obtenemos:

2 + y + z = 3

Resolviendo para y y z, encontramos que y = 1 y z = 0. Por lo tanto, la solución del sistema es x = 2, y = 1, z = 0.

Conclusión