Resuelve triángulos con trigonometría: ejercicios prácticos

Si estás estudiando trigonometría, seguramente has llegado al punto en el que necesitas resolver triángulos utilizando las funciones trigonométricas. Esto puede resultar un poco complicado al principio, especialmente si no tienes mucha práctica con las matemáticas. Pero no te preocupes, en este artículo te mostraremos algunos ejercicios prácticos para que puedas resolver triángulos con facilidad.

Antes de empezar, es importante recordar las funciones trigonométricas básicas. Estas son el seno, el coseno y la tangente. El seno se define como el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, el coseno como el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y la tangente como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Además, hay otras tres funciones trigonométricas que son el cosecante, el secante y la cotangente, que son el inverso del seno, el coseno y la tangente, respectivamente.

Ahora sí, veamos algunos ejercicios prácticos para resolver triángulos con trigonometría:

Ejercicio 1

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo de 30 grados y un cateto opuesto de 4 cm, encontrar la hipotenusa y el cateto adyacente.

Para resolver este ejercicio, primero debemos recordar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre igual a 180 grados. Como tenemos un ángulo de 30 grados, el ángulo restante debe ser de 90 - 30 = 60 grados. Luego, podemos usar la definición de seno y coseno para encontrar la hipotenusa y el cateto adyacente:

- sen(30) = cateto opuesto / hipotenusa
- cos(30) = cateto adyacente / hipotenusa

Despejando la hipotenusa en la primera ecuación, obtenemos:
- hipotenusa = cateto opuesto / sen(30)

Reemplazando los valores conocidos, obtenemos:
- hipotenusa = 4 / sin(30) = 4 / 0.5 = 8 cm

Luego, despejando el cateto adyacente en la segunda ecuación, obtenemos:
- cateto adyacente = hipotenusa * cos(30)

Reemplazando los valores conocidos, obtenemos:
- cateto adyacente = 8 * cos(30) = 8 * 0.866 = 6.928 cm

Por lo tanto, la hipotenusa es de 8 cm y el cateto adyacente es de 6.928 cm.

Ejercicio 2

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo de 45 grados y un cateto opuesto de 5 cm, encontrar la hipotenusa y el cateto adyacente.

Para resolver este ejercicio, podemos seguir el mismo proceso que en el ejercicio anterior. Primero, recordamos que el ángulo restante es de 90 - 45 = 45 grados. Luego, usamos las definiciones de seno y coseno para encontrar la hipotenusa y el cateto adyacente:

- sen(45) = cateto opuesto / hipotenusa
- cos(45) = cateto adyacente / hipotenusa

Despejando la hipotenusa en la primera ecuación, obtenemos:
- hipotenusa = cateto opuesto / sin(45)

Reemplazando los valores conocidos, obtenemos:
- hipotenusa = 5 / sin(45) = 5 / 0.707 = 7.071 cm

Luego, despejando el cateto adyacente en la segunda ecuación, obtenemos:
- cateto adyacente = hipotenusa * cos(45)

Reemplazando los valores conocidos, obtenemos:
- cateto adyacente = 7.071 * cos(45) = 7.071 * 0.707 = 5 cm

Por lo tanto, la hipotenusa es de 7.071 cm y el cateto adyacente es de 5 cm.

Ejercicio 3

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo de 60 grados y una hipotenusa de 10 cm, encontrar los catetos.

Para resolver este ejercicio, podemos usar la definición de seno y coseno para encontrar los catetos:

- sen(60) = cateto opuesto / hipotenusa
- cos(60) = cateto adyacente / hipotenusa

Despejando el cateto opuesto en la primera ecuación, obtenemos:
- cateto opuesto = hipotenusa * sin(60)

Reemplazando los valores conocidos, obtenemos:
- cateto opuesto = 10 * sin(60) = 10 * 0.866 = 8.66 cm

Luego, despejando el cateto adyacente en la segunda ecuación, obtenemos:
- cateto adyacente = hipotenusa * cos(60)

Reemplazando los valores conocidos, obtenemos:
- cateto adyacente = 10 * cos(60) = 10 * 0.5 = 5 cm

Por lo tanto, el cateto opuesto es de 8.66 cm y el cateto adyacente es de 5 cm.

Ejercicio 4

Dado un triángulo no rectángulo con ángulos de 50 grados, 70 grados y 60 grados, y un lado de 8 cm, encontrar los otros dos lados.

Para resolver este ejercicio, podemos usar la ley de los senos, que establece que el cociente entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante:

- a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

En este caso, tenemos el lado a = 8 cm y los ángulos A = 50 grados y B = 70 grados. Entonces, podemos usar la ley de los senos para encontrar los otros dos lados:

- a / sin(A) = b / sin(B)
- b = a * sin(B) / sin(A)

Reemplazando los valores conocidos, obtenemos:
- b = 8 * sin(70) / sin(50) = 9.87 cm

Luego, podemos usar la ley de los cosenos para encontrar el tercer lado:

- c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C)

Despejando c, obtenemos:
- c = sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C))

Reemplazando los valores conocidos, obtenemos:
- c = sqrt(8^2 + 9.87^2 - 2*8*9.87*cos(60)) = 6.11 cm

Por lo tanto, los otros dos lados son de 9.87 cm y 6.11 cm.

Ejercicio 5

Dado un triángulo no rectángulo con ángulos de 30 grados, 60 grados y 90 grados, y un lado de 6 cm, encontrar los otros dos lados.

En este caso, podemos usar la relación entre los lados de un triángulo equilátero, que es un triángulo con tres ángulos de 60 grados y tres l