Resuelve ejercicios con el teorema de la tangente en la circunferencia

Si estás estudiando geometría, seguramente has escuchado hablar del teorema de la tangente en la circunferencia. Este teorema es muy útil para resolver problemas relacionados con la posición de una recta respecto a una circunferencia. En este artículo, te explicaremos en qué consiste este teorema y cómo puedes utilizarlo para resolver ejercicios.

¿Qué es el teorema de la tangente en la circunferencia?

El teorema de la tangente en la circunferencia establece que una recta que es tangente a una circunferencia en un punto P es perpendicular al radio que une el centro de la circunferencia con el punto P. En otras palabras, si trazamos una recta tangente a una circunferencia, dicha recta será perpendicular al radio que une el centro de la circunferencia con el punto de tangencia.

Este teorema es muy útil para resolver problemas relacionados con la posición de una recta respecto a una circunferencia. Por ejemplo, si se nos pide encontrar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en un punto determinado, podemos utilizar el teorema de la tangente para encontrar la pendiente de dicha recta.

Cómo resolver problemas con el teorema de la tangente en la circunferencia

Para resolver problemas con el teorema de la tangente en la circunferencia, es importante seguir los siguientes pasos:

1. Identificar el punto de tangencia entre la recta y la circunferencia.
2. Encontrar las coordenadas del punto de tangencia.
3. Encontrar las coordenadas del centro de la circunferencia.
4. Utilizar las coordenadas del punto de tangencia y del centro de la circunferencia para encontrar la ecuación del radio que une ambos puntos.
5. Utilizar la ecuación del radio para encontrar la pendiente de la recta tangente.
6. Utilizar la ecuación del punto de tangencia y la pendiente de la recta tangente para encontrar la ecuación de la recta tangente.

Veamos un ejemplo:

Supongamos que se nos pide encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación x^2 + y^2 = 25 en el punto (3, 4).

1. El punto de tangencia es el punto (3, 4).
2. Las coordenadas del punto de tangencia son (3, 4).
3. El centro de la circunferencia tiene coordenadas (0, 0).
4. El radio que une el punto de tangencia y el centro de la circunferencia es la recta que pasa por ambos puntos. Utilizando la fórmula de la pendiente de una recta, podemos encontrar que la pendiente de esta recta es -4/3. Por lo tanto, la ecuación del radio es y = (-4/3)x + 4.
5. La pendiente de la recta tangente es perpendicular a la pendiente del radio que hemos encontrado en el paso anterior. Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es 3/4.
6. Utilizando la ecuación del punto de tangencia (3, 4) y la pendiente de la recta tangente 3/4, podemos utilizar la fórmula de la ecuación de la recta para encontrar que la ecuación de la recta tangente es y = (3/4)x + 7/4.

Ejercicios resueltos con el teorema de la tangente en la circunferencia

Veamos algunos ejercicios resueltos utilizando el teorema de la tangente en la circunferencia:

Ejercicio 1

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación x^2 + y^2 = 16 en el punto (2, 4).

1. El punto de tangencia es el punto (2, 4).
2. Las coordenadas del punto de tangencia son (2, 4).
3. El centro de la circunferencia tiene coordenadas (0, 0).
4. El radio que une el punto de tangencia y el centro de la circunferencia es la recta que pasa por ambos puntos. Utilizando la fórmula de la pendiente de una recta, podemos encontrar que la pendiente de esta recta es -2. Por lo tanto, la ecuación del radio es y = -2x + 8.
5. La pendiente de la recta tangente es perpendicular a la pendiente del radio que hemos encontrado en el paso anterior. Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es 1/2.
6. Utilizando la ecuación del punto de tangencia (2, 4) y la pendiente de la recta tangente 1/2, podemos utilizar la fórmula de la ecuación de la recta para encontrar que la ecuación de la recta tangente es y = (1/2)x + 3.

Ejercicio 2

Dada la circunferencia de ecuación x^2 + y^2 = 9, encuentra la ecuación de la recta tangente en el punto (-3, -sqrt(3)).

1. El punto de tangencia es el punto (-3, -sqrt(3)).
2. Las coordenadas del punto de tangencia son (-3, -sqrt(3)).
3. El centro de la circunferencia tiene coordenadas (0, 0).
4. El radio que une el punto de tangencia y el centro de la circunferencia es la recta que pasa por ambos puntos. Utilizando la fórmula de la pendiente de una recta, podemos encontrar que la pendiente de esta recta es sqrt(3)/3. Por lo tanto, la ecuación del radio es y = (sqrt(3)/3)x - sqrt(3).
5. La pendiente de la recta tangente es perpendicular a la pendiente del radio que hemos encontrado en el paso anterior. Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es -3/sqrt(3) = -sqrt(3).
6. Utilizando la ecuación del punto de tangencia (-3, -sqrt(3)) y la pendiente de la recta tangente -sqrt(3), podemos utilizar la fórmula de la ecuación de la recta para encontrar que la ecuación de la recta tangente es y = -sqrt(3)x - 3sqrt(3).

Conclusión

El teorema de la tangente en la circunferencia es un teorema muy útil para resolver problemas relacionados con la posición de una recta respecto a una circunferencia. Utilizando los pasos que hemos descrito en este artículo, puedes resolver ejercicios de geometría que involucren la recta tangente a una circunferencia en un punto determinado.

Preguntas frecuentes

1. ¿Es posible que una recta corte a una circunferencia en dos puntos?

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