Función cuadrática: Cómo encontrarla con solo dos puntos

La función cuadrática es una de las más importantes en el ámbito de las matemáticas, ya que es muy útil para modelar situaciones en las que la variable dependiente está relacionada con la variable independiente mediante una ecuación de segundo grado. Una de las formas más comunes de plantear una función cuadrática es mediante la fórmula general: f(x) = ax^2 + bx + c. Sin embargo, esta fórmula solo es útil si se conocen los valores de a, b y c. En este artículo te mostraremos cómo encontrar la función cuadrática con solo dos puntos.

¿Qué son los puntos?

Antes de adentrarnos en el tema de la función cuadrática, es importante entender qué son los puntos. En el plano cartesiano, un punto se representa por un par ordenado de números (x, y), donde x es la coordenada en el eje horizontal (también llamado eje de las abscisas) y y es la coordenada en el eje vertical (también llamado eje de las ordenadas).

Por ejemplo, el punto (2, 3) representa un punto que está ubicado a dos unidades hacia la derecha del origen (que se encuentra en el punto (0, 0)) y a tres unidades hacia arriba.

¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es una función de segundo grado, es decir, una función que se puede expresar mediante una ecuación de la forma f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes (números fijos) y x es la variable independiente.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, que puede abrir hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de a. Si a es positivo, la parábola abre hacia arriba, y si a es negativo, la parábola abre hacia abajo.

Cómo encontrar la función cuadrática con solo dos puntos

En general, para encontrar la función cuadrática que pasa por dos puntos dados (x1, y1) y (x2, y2), se deben seguir los siguientes pasos:

1. Escribir la ecuación general de la función cuadrática: f(x) = ax^2 + bx + c.
2. Sustituir los valores de x1, y1, x2 y y2 en la ecuación general, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas (a, b y c).
3. Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de a, b y c.
4. Escribir la ecuación de la función cuadrática que pasa por los dos puntos dados.

Veamos un ejemplo:

Supongamos que queremos encontrar la función cuadrática que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 4).

1. La ecuación general de la función cuadrática es f(x) = ax^2 + bx + c.
2. Sustituyendo los valores de los puntos, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

2 = a + b + c
4 = 9a + 3b + c

3. Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:

a = 1/2
b = 3/2
c = 1

4. Por lo tanto, la función cuadrática que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 4) es f(x) = 1/2x^2 + 3/2x + 1.

Usando la fórmula de la distancia

Otra forma de encontrar la función cuadrática que pasa por dos puntos es utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos. Esta fórmula establece que la distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) es igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre las coordenadas x y la diferencia entre las coordenadas y, elevadas al cuadrado:

distancia = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]

Si conocemos la distancia entre los dos puntos y la altura de la parábola en uno de ellos, podemos encontrar la ecuación de la parábola. La altura de la parábola en uno de los puntos es igual al valor de y en ese punto.

Veamos un ejemplo:

Supongamos que queremos encontrar la función cuadrática que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 4), sabiendo que la distancia entre los puntos es igual a 2.

1. La distancia entre los puntos es igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre las coordenadas x y la diferencia entre las coordenadas y, elevadas al cuadrado:

2 = √[(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2]

2. Despejando la diferencia entre las coordenadas y, obtenemos:

2 = √4 + (y2 - y1)^2

4 = (y2 - y1)^2

3. Sabemos que la altura de la parábola en el punto (1, 2) es igual a 2, por lo que podemos escribir:

2 = a + b + c

4. Sustituyendo el valor de c en la ecuación general de la función cuadrática, obtenemos:

2 = a + b + (2 - ax1^2 - bx1)

2 = a + b - ax1^2 - bx1

5. Sustituyendo el valor de c en la ecuación general de la función cuadrática en el otro punto, obtenemos:

4 = a + b + (4 - ax2^2 - bx2)

4 = a + b - ax2^2 - bx2

6. Restando las dos ecuaciones, obtenemos:

2 = a(x2^2 - x1^2) + b(x2 - x1)

7. Sabemos que la distancia entre los puntos es igual a 2, por lo que podemos escribir:

2 = a(x2 - x1)^2 + b(x2 - x1)

8. Sustituyendo los valores de los puntos, obtenemos:

2 = a(2)^2 + b(2)

4 = a(4)^2 + b(4)

9. Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:

a = 1/2
b = 3/2
c = 1

10. Por lo tanto, la función cuadrática que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 4) es f(x) = 1/2x^2 + 3/2x + 1.

Conclusión

En este artículo hemos visto cómo encontrar la función cuadrática que pasa por dos puntos, tanto utilizando un sistema de ecuaciones como la fórmula de la distancia. Saber cómo encontrar la función cuadrática es muy útil en muchos campos, desde la física hasta la economía.

Recuerda que la ecuación general de la función cuadrática es f(x) = ax^2 + bx + c, y que para encontrar la función cuadrática que pasa por dos puntos necesitas dos ecuaciones que involucren a las constantes a, b y c.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es una función de segundo grado, es decir, una función que se puede expresar mediante una ec