Elipse única: ecuación que conecta 4 puntos

Imagínate que tienes cuatro puntos en un plano y quieres encontrar la ecuación de la elipse que pasa por esos puntos. ¿Es posible encontrar una ecuación única que conecte los cuatro puntos? La respuesta es sí, y en este artículo te explicaremos cómo hacerlo.

Primero, debemos entender que una elipse es una figura cerrada en forma de óvalo que se forma cuando cortamos un cono con un plano. La elipse tiene dos ejes, el mayor y el menor, y su forma y tamaño está determinada por la posición del centro de la elipse y la distancia entre los dos ejes.

Para encontrar la ecuación de la elipse que pasa por cuatro puntos, necesitamos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Encontrar el centro de la elipse

El primer paso es encontrar el centro de la elipse. Para hacerlo, tomamos tres de los cuatro puntos y trazamos las rectas mediatrices entre cada par de puntos. El centro de la elipse será el punto donde se intersectan las tres rectas mediatrices.

Paso 2: Encontrar los ejes de la elipse

Una vez que tenemos el centro de la elipse, necesitamos encontrar los ejes de la elipse. Para hacerlo, tomamos dos de los cuatro puntos y trazamos la recta que los une. Esta recta será uno de los ejes de la elipse. El segundo eje de la elipse será la recta perpendicular a la primera recta que pasa por el centro de la elipse.

Paso 3: Encontrar la distancia entre los dos ejes

Una vez que tenemos los dos ejes de la elipse, necesitamos encontrar la distancia entre ellos. Para hacerlo, tomamos el cuarto punto y calculamos la distancia entre el punto y cada uno de los dos ejes. La distancia mínima será la distancia entre los dos ejes de la elipse.

Paso 4: Escribir la ecuación de la elipse

Finalmente, podemos escribir la ecuación de la elipse utilizando la fórmula general de la elipse:

donde h y k son las coordenadas del centro de la elipse, a es la distancia desde el centro de la elipse hasta el extremo del eje mayor, y b es la distancia desde el centro de la elipse hasta el extremo del eje menor.

Ejemplo

Supongamos que tenemos los siguientes cuatro puntos: (1, 2), (3, 4), (5, 6) y (7, 8). ¿Cuál es la ecuación de la elipse que pasa por estos puntos?

Primero, encontramos el centro de la elipse utilizando los puntos (1, 2), (3, 4) y (5, 6). Las rectas mediatrices son:

- La recta mediatriz entre (1, 2) y (3, 4) es y = x - 1.
- La recta mediatriz entre (3, 4) y (5, 6) es y = x - 1.
- La recta mediatriz entre (1, 2) y (5, 6) es y = x - 2.

La intersección de estas tres rectas mediatrices es el punto (3, 4), que es el centro de la elipse.

Luego, encontramos los ejes de la elipse utilizando los puntos (1, 2) y (7, 8). La recta que une estos dos puntos es y = x + 1. La recta perpendicular que pasa por el centro de la elipse es y = -x + 10. Por lo tanto, los ejes de la elipse son las rectas y = x + 1 y y = -x + 10.

Finalmente, encontramos la distancia entre los dos ejes utilizando el punto (5, 6). La distancia desde el punto (5, 6) hasta la recta y = x + 1 es 1.58 unidades, y la distancia desde el punto (5, 6) hasta la recta y = -x + 10 es 1.58 unidades. Por lo tanto, la distancia entre los dos ejes es 3.16 unidades.

Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula general de la elipse, obtenemos la ecuación de la elipse que pasa por los cuatro puntos:

Preguntas frecuentes

¿Por qué necesitamos cuatro puntos para encontrar la ecuación de la elipse?

Necesitamos cuatro puntos para encontrar la ecuación de la elipse porque la elipse tiene cuatro parámetros que determinan su tamaño y forma: el centro de la elipse, los dos ejes de la elipse y la distancia entre los dos ejes.

¿Qué pasa si los cuatro puntos están alineados?

Si los cuatro puntos están alineados, entonces no es posible encontrar una elipse que pase por los cuatro puntos. En este caso, tendríamos una recta en lugar de una elipse.

¿Cómo podemos verificar si una elipse pasa por los cuatro puntos?

Podemos verificar si una elipse pasa por los cuatro puntos sustituyendo las coordenadas de los puntos en la ecuación de la elipse. Si la ecuación es verdadera para los cuatro puntos, entonces la elipse pasa por los cuatro puntos.

¿Por qué es importante conocer la ecuación de la elipse que pasa por cuatro puntos?

Conocer la ecuación de la elipse que pasa por cuatro puntos puede ser útil en áreas como la geometría, la ingeniería y la física. Por ejemplo, podemos utilizar la ecuación para diseñar figuras en 2D, calcular áreas y volúmenes, y modelar el movimiento de objetos en una trayectoria elíptica.

¿Es posible encontrar la ecuación de una elipse a partir de tres puntos?

No es posible encontrar la ecuación de una elipse a partir de tres puntos porque la elipse tiene cuatro parámetros que determinan su tamaño y forma. Sin embargo, podemos encontrar una circunferencia que pase por tres puntos utilizando un método similar.