Ejercicios resueltos de circunferencia pasando por 3 puntos

Si estás estudiando geometría o simplemente quieres repasar algunos conceptos, los ejercicios resueltos de circunferencia pasando por 3 puntos son una excelente manera de hacerlo. En este artículo, te presentaremos una serie de ejercicios resueltos de este tipo para que puedas practicar y mejorar tus habilidades en este tema.

¿Qué es una circunferencia?

Antes de profundizar en los ejercicios resueltos de circunferencia pasando por 3 puntos, es importante recordar qué es una circunferencia. Una circunferencia es una figura geométrica que representa el conjunto de puntos en un plano que están a una distancia constante de un punto central llamado centro. Esta distancia constante se llama radio.

Ejercicio 1

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2, 3), (-1, 4) y (0, 1).

Para resolver este ejercicio, utilizaremos la fórmula general de la ecuación de una circunferencia:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Donde (h, k) es el centro de la circunferencia y r es su radio.

Paso 1: Encontrar el centro (h, k) de la circunferencia. Para hacer esto, necesitamos resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos bisectrices de los segmentos formados por los tres puntos.

(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h + 1)^2 + (k - 4)^2
(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = h^2 + k^2 + 1 - 2h - 8k + 16

Resolviendo este sistema, encontramos que h = -1/2 y k = 13/2.

Paso 2: Encontrar el radio r de la circunferencia. Para hacer esto, podemos utilizar la ecuación de la distancia entre dos puntos:

r = √[(2 + 1/2)^2 + (3 - 13/2)^2] = √(169/4) = 13/2

Paso 3: Escribir la ecuación de la circunferencia. Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula general, obtenemos:

(x + 1/2)^2 + (y - 13/2)^2 = (13/2)^2

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2, 3), (-1, 4) y (0, 1) es:

(x + 1/2)^2 + (y - 13/2)^2 = 169/4

Ejercicio 2

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 2), (3, 4) y (-1, 6).

Este ejercicio es similar al anterior, pero con puntos diferentes. Para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por estos puntos, seguimos los mismos pasos que en el ejercicio anterior:

Paso 1: Encontrar el centro (h, k) de la circunferencia.

(h - 1)^2 + (k - 2)^2 = (h - 3)^2 + (k - 4)^2
(h - 1)^2 + (k - 2)^2 = h^2 + k^2 - 6h - 8k + 26

Resolviendo este sistema, encontramos que h = 1 y k = 3.

Paso 2: Encontrar el radio r de la circunferencia.

r = √[(1 - 3)^2 + (2 - 4)^2] = √8

Paso 3: Escribir la ecuación de la circunferencia.

(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 8

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 2), (3, 4) y (-1, 6) es:

(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 8

Ejercicio 3

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0, 0), (1, 2) y (2, 1).

Este ejercicio es un poco más complicado que los anteriores, ya que los puntos no están alineados en una línea recta. Sin embargo, el proceso para encontrar la ecuación de la circunferencia sigue siendo el mismo:

Paso 1: Encontrar el centro (h, k) de la circunferencia.

(h - 0)^2 + (k - 0)^2 = (h - 1)^2 + (k - 2)^2
(h - 0)^2 + (k - 0)^2 = (h - 2)^2 + (k - 1)^2
h^2 + k^2 - h - 2k + 5 = h^2 + k^2 - 4h - 2k + 5

Resolviendo este sistema, encontramos que h = 1 y k = 1.

Paso 2: Encontrar el radio r de la circunferencia.

r = √[(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2] = √2

Paso 3: Escribir la ecuación de la circunferencia.

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0, 0), (1, 2) y (2, 1) es:

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2

Conclusión

Los ejercicios resueltos de circunferencia pasando por 3 puntos son una excelente manera de practicar tus habilidades en geometría. Al seguir los pasos descritos anteriormente, puedes encontrar fácilmente la ecuación de la circunferencia que pasa por cualquier conjunto de tres puntos en un plano. Recuerda que la clave para resolver estos ejercicios es tener una buena comprensión de la fórmula general de la ecuación de una circunferencia y la fórmula de la distancia entre dos puntos.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una circunferencia?
Una circunferencia es una figura geométrica que representa el conjunto de puntos en un plano que están a una distancia constante de un punto central llamado centro. Esta distancia constante se llama radio.

2. ¿Cómo se encuentra el centro de una circunferencia?
El centro de una circunferencia se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos bisectrices de los segmentos formados por los puntos dados.

3. ¿Cómo se encuentra el radio de una circunferencia?
El radio de una circunferencia se encuentra utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos.

4. ¿Cuál es la fórmula general de la ecuación de una circunferencia?
La fórmula general de la ecuación de una circunferencia es (x