Ejercicios resueltos: continuidad de funciones a trozos

Las funciones a trozos son aquellas que se definen mediante diferentes expresiones en distintos intervalos. En matemáticas, es común encontrarse con funciones a trozos que tienen puntos donde su continuidad puede ser cuestionable. En este artículo, te mostraremos algunos ejercicios resueltos sobre continuidad de funciones a trozos.

¿Qué es la continuidad de una función?

Antes de entrar en los ejercicios, es importante entender qué es la continuidad de una función. Una función se considera continua si no tiene saltos o quiebres en su gráfica. Es decir, si podemos trazar una línea desde un punto a otro en la gráfica sin levantar el lápiz, entonces la función es continua.

Ejercicio 1

Sea la función f(x) definida como:

$$
f(x) = begin{cases}
2x & text{si } x < 0 \ x^2 & text{si } 0 leq x < 1 \ x + 1 & text{si } x geq 1 \ end{cases}$$Determina si la función es continua en todos los puntos.

Solución:

Para determinar si la función es continua en todos los puntos, debemos analizar la continuidad en cada uno de los puntos donde se producen cambios en la definición de la función.

- En el primer intervalo, la función es una recta y, por lo tanto, es continua en todo punto de ese intervalo.
- En el segundo intervalo, la función es una parábola y, por lo tanto, también es continua en todo punto de ese intervalo.
- En el tercer intervalo, la función es una recta y, por lo tanto, es continua en todo punto de ese intervalo.

Por lo tanto, la función es continua en todos los puntos.

Ejercicio 2

Sea la función g(x) definida como:

$$
g(x) = begin{cases}
x+1 & text{si } x < 2 \ frac{x^2-3x+2}{x-2} & text{si } 2 leq x < 3 \ x^2-5x+6 & text{si } x geq 3 \ end{cases}$$Determina si la función es continua en todos los puntos.

Solución:

Al igual que en el ejercicio anterior, debemos analizar la continuidad en cada uno de los puntos donde se producen cambios en la definición de la función.

- En el primer intervalo, la función es una recta y, por lo tanto, es continua en todo punto de ese intervalo.
- En el segundo intervalo, la función presenta una indeterminación en x=2, ya que el denominador se anula. Para determinar si la función es continua en ese punto, debemos calcular el límite de la función cuando x se acerca a 2 desde la izquierda y desde la derecha.

$$
lim_{x to 2^-} frac{x^2-3x+2}{x-2} = lim_{x to 2^-} frac{(x-2)(x-1)}{x-2} = lim_{x to 2^-} (x-1) = 1
$$

$$
lim_{x to 2^+} frac{x^2-3x+2}{x-2} = lim_{x to 2^+} frac{(x-2)(x-1)}{x-2} = lim_{x to 2^+} (x-1) = 1
$$

Como ambos límites son iguales, la función es continua en x=2.

- En el tercer intervalo, la función es una parábola y, por lo tanto, es continua en todo punto de ese intervalo.

Por lo tanto, la función es continua en todos los puntos.

Ejercicio 3

Sea la función h(x) definida como:

$$
h(x) = begin{cases}
2x-1 & text{si } x < 0 \ frac{1}{x} & text{si } 0 leq x < 1 \ x+1 & text{si } x geq 1 \ end{cases}$$Determina si la función es continua en todos los puntos.

Solución:

Al igual que en los ejercicios anteriores, debemos analizar la continuidad en cada uno de los puntos donde se producen cambios en la definición de la función.

- En el primer intervalo, la función es una recta y, por lo tanto, es continua en todo punto de ese intervalo.
- En el segundo intervalo, la función presenta una indeterminación en x=0, ya que el denominador se anula. Para determinar si la función es continua en ese punto, debemos calcular el límite de la función cuando x se acerca a 0 desde la izquierda y desde la derecha.

$$
lim_{x to 0^-} frac{1}{x} = -infty
$$

$$
lim_{x to 0^+} frac{1}{x} = infty
$$

Como los límites no son iguales, la función no es continua en x=0.

- En el tercer intervalo, la función es una recta y, por lo tanto, es continua en todo punto de ese intervalo.

Por lo tanto, la función no es continua en todos los puntos.

Conclusión

La continuidad de una función es un concepto fundamental en matemáticas. En el caso de funciones a trozos, es importante analizar la continuidad en cada uno de los puntos donde se producen cambios en la definición de la función. En este artículo, hemos visto algunos ejercicios resueltos para determinar la continuidad de funciones a trozos.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una función a trozos?

Una función a trozos es aquella que se define mediante diferentes expresiones en distintos intervalos.

2. ¿Cómo se determina la continuidad de una función a trozos?

Para determinar la continuidad de una función a trozos, es importante analizar la continuidad en cada uno de los puntos donde se producen cambios en la definición de la función.

3. ¿Qué es una indeterminación en una función?

Una indeterminación en una función es un punto donde la función no está definida o donde el valor de la función no puede ser determinado de manera directa.

4. ¿Qué es un límite en matemáticas?

Un límite en matemáticas es un valor al que se acerca una función cuando el valor de la variable independiente se acerca a un determinado valor.

5. ¿Qué es la continuidad de una función?

La continuidad de una función se refiere a la ausencia de saltos o quiebres en su gráfica.