Ejemplos de elipse en origen: aprende su ecuación

Si estás estudiando geometría o matemáticas avanzadas, es muy probable que hayas oído hablar de las elipses. Una elipse es una curva cerrada en forma de óvalo que se puede encontrar en muchos lugares diferentes, desde los planetas que orbitan alrededor del sol hasta los diseños de los coches deportivos. En este artículo, vamos a centrarnos en las elipses en origen, que son aquellas que tienen su centro en el punto (0,0) del plano cartesiano. Aprenderás a encontrar la ecuación de este tipo de elipse y te daremos algunos ejemplos para que puedas practicar.

¿Qué es una elipse en origen?

Antes de entrar en detalles sobre la ecuación de la elipse en origen, es importante entender qué es una elipse en origen. Como se mencionó anteriormente, es una elipse cuyo centro está en el origen (0,0) del plano cartesiano. Por lo tanto, las coordenadas del centro de esta elipse son (0,0).

Además, la forma general de una elipse en origen es:

x²/a² + y²/b² = 1

donde a y b son las longitudes de los semiejes de la elipse. El semieje mayor se extiende en la dirección del eje x y tiene una longitud de a, mientras que el semieje menor se extiende en la dirección del eje y y tiene una longitud de b.

Cómo encontrar la ecuación de una elipse en origen

Ahora que sabes lo que es una elipse en origen, es hora de aprender cómo encontrar su ecuación. Hay dos formas diferentes de hacerlo: a través de la determinación de los semiejes o a través de la utilización de puntos conocidos.

Método de los semiejes

Este método se basa en la determinación de las longitudes de los semiejes a y b. Para hacerlo, debes seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Dibuja la elipse en un plano cartesiano.

Paso 2: Identifica el punto más alejado de la elipse en la dirección del eje x y mide su distancia desde el centro. Este será el semieje mayor a.

Paso 3: Identifica el punto más alejado de la elipse en la dirección del eje y y mide su distancia desde el centro. Este será el semieje menor b.

Paso 4: Sustituye a y b en la ecuación general de la elipse en origen:

x²/a² + y²/b² = 1

y obtendrás la ecuación de la elipse en origen.

Método de los puntos conocidos

Este método se basa en la utilización de puntos conocidos en la elipse para encontrar su ecuación. Para hacerlo, debes seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Dibuja la elipse en un plano cartesiano.

Paso 2: Identifica dos puntos conocidos en la elipse, por ejemplo, (3,2) y (-3,-2).

Paso 3: Sustituye estos puntos en la ecuación general de la elipse en origen:

x²/a² + y²/b² = 1

y obtendrás dos ecuaciones simultáneas.

Paso 4: Resuelve estas ecuaciones simultáneas para encontrar los valores de a y b.

Paso 5: Sustituye a y b en la ecuación general de la elipse en origen:

x²/a² + y²/b² = 1

y obtendrás la ecuación de la elipse en origen.

Ejemplos de elipses en origen

Ahora que sabes cómo encontrar la ecuación de una elipse en origen, es hora de ponerlo en práctica con algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Dibuja la elipse en el plano cartesiano cuyo semieje mayor tiene una longitud de 5 y el semieje menor tiene una longitud de 3.

Para encontrar la ecuación de esta elipse, utilizaremos el método de los semiejes. Como sabemos que el semieje mayor es 5 y el semieje menor es 3, sustituimos estos valores en la ecuación general de la elipse en origen:

x²/5² + y²/3² = 1

Simplificando esta ecuación, obtenemos:

x²/25 + y²/9 = 1

Esta es la ecuación de la elipse en origen que estábamos buscando.

Ejemplo 2

Encuentra la ecuación de la elipse en origen que pasa por los puntos (4,0) y (0,3).

Para encontrar la ecuación de esta elipse, utilizaremos el método de los puntos conocidos. Sustituimos los puntos (4,0) y (0,3) en la ecuación general de la elipse en origen:

4²/a² + 0²/b² = 1

0²/a² + 3²/b² = 1

Resolviendo estas ecuaciones simultáneas, obtenemos a = 4 y b = 3. Sustituyendo estos valores en la ecuación general de la elipse en origen, obtenemos:

x²/16 + y²/9 = 1

Esta es la ecuación de la elipse en origen que pasa por los puntos (4,0) y (0,3).

Conclusión

Las elipses en origen son una parte importante de la geometría y las matemáticas avanzadas. Aprender a encontrar su ecuación es esencial para poder trabajar con ellas y resolver problemas relacionados con ellas. Utilizando los métodos de los semiejes o de los puntos conocidos, puedes encontrar fácilmente la ecuación de cualquier elipse en origen.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una elipse en origen?

Una elipse en origen es una elipse cuyo centro está en el punto (0,0) del plano cartesiano.

¿Cómo encuentro la ecuación de una elipse en origen?

Puedes encontrar la ecuación de una elipse en origen utilizando los métodos de los semiejes o de los puntos conocidos.

¿Qué son los semiejes de una elipse?

Los semiejes de una elipse son las longitudes del semieje mayor y el semieje menor. El semieje mayor se extiende en la dirección del eje x y el semieje menor se extiende en la dirección del eje y.

¿Qué significa la ecuación de una elipse?

La ecuación de una elipse describe la forma de la elipse y su posición en el plano cartesiano.

¿Dónde se pueden encontrar las elipses en la vida cotidiana?

Las elipses se pueden encontrar en muchos lugares diferentes, desde los planetas que orbitan alrededor del sol hasta los diseños de los coches deportivos.