Domina la función cuadrática con ejercicios resueltos en sus tres formas

La función cuadrática es una de las más importantes en la matemática, y es fundamental en la resolución de problemas de física, economía, ingeniería, entre otros campos. Esta función tiene una forma particular y se puede representar en tres formas diferentes: la forma estándar, la forma vértice y la forma factorizada. En este artículo, te enseñaremos cómo resolver ejercicios en cada una de estas formas para que puedas dominar la función cuadrática.

Forma estándar

En la forma estándar, la función cuadrática se escribe como:

f(x) = ax^2 + bx + c

Donde a, b y c son constantes. Para resolver un ejercicio en esta forma, sigue los siguientes pasos:

1. Identifica los valores de a, b y c.

2. Usa la fórmula general para encontrar las raíces de la función:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

3. Si el discriminante (b^2 - 4ac) es negativo, la función no tiene raíces reales.

4. Encuentra el vértice de la parábola:

x = -b / 2a

y = f(x)

5. Determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Ejemplo:

Resuelve la función cuadrática f(x) = 2x^2 + 4x - 6 en su forma estándar.

1. Identifica a = 2, b = 4 y c = -6.

2. Usa la fórmula general:

x = (-4 ± √(4^2 - 4(2)(-6))) / 2(2) = (-4 ± √64) / 4

x1 = -1

x2 = -3

3. La función tiene dos raíces reales.

4. Encuentra el vértice:

x = -4 / 4 = -1

y = f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 6 = -10

Vértice: (-1, -10)

5. La parábola abre hacia arriba ya que a = 2 > 0.

Forma vértice

En la forma vértice, la función cuadrática se escribe como:

f(x) = a(x - h)^2 + k

Donde (h, k) es el vértice de la parábola. Para resolver un ejercicio en esta forma, sigue los siguientes pasos:

1. Identifica los valores de a, h y k.

2. Usa la fórmula para encontrar las raíces de la función:

x1 = h - √(k/a)

x2 = h + √(k/a)

3. Si a es negativo, la parábola abre hacia abajo.

Ejemplo:

Resuelve la función cuadrática f(x) = 2(x + 1)^2 - 6 en su forma vértice.

1. Identifica a = 2, h = -1 y k = -6.

2. Encuentra las raíces:

x1 = -1 - √(-6/2) = -2

x2 = -1 + √(-6/2) = 0

3. La parábola abre hacia arriba ya que a = 2 > 0.

Forma factorizada

En la forma factorizada, la función cuadrática se escribe como:

f(x) = a(x - r1)(x - r2)

Donde r1 y r2 son las raíces de la función. Para resolver un ejercicio en esta forma, sigue los siguientes pasos:

1. Identifica los valores de a, r1 y r2.

2. Encuentra el vértice de la parábola:

x = (r1 + r2) / 2

y = f(x) = a(r1)(r2)

3. Si a es negativo, la parábola abre hacia abajo.

Ejemplo:

Resuelve la función cuadrática f(x) = (x - 2)(x - 3) en su forma factorizada.

1. Identifica a = 1, r1 = 2 y r2 = 3.

2. Encuentra el vértice:

x = (2 + 3) / 2 = 2.5

y = f(2.5) = 1(2)(3) = 6

Vértice: (2.5, 6)

3. La parábola abre hacia arriba ya que a = 1 > 0.

Conclusión

La función cuadrática es una herramienta poderosa para resolver problemas en diversos campos. Dominar sus tres formas de representación te permitirá resolver cualquier ejercicio que se te presente. Recuerda que la práctica es clave para mejorar en matemática, por lo que te recomendamos resolver muchos ejercicios para afianzar tus conocimientos.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es una función de segundo grado que tiene una forma particular y se puede escribir en tres formas diferentes: la forma estándar, la forma vértice y la forma factorizada.

2. ¿Para qué sirve resolver una función cuadrática?

Resolver una función cuadrática es útil para resolver problemas en diversos campos como la física, economía, ingeniería, entre otros.

3. ¿Cómo se encuentra el vértice de una función cuadrática?

El vértice de una función cuadrática se encuentra utilizando la fórmula x = -b / 2a y evaluando en la función para encontrar el valor de y.

4. ¿Qué significa que una parábola abra hacia arriba o hacia abajo?

Si a es positivo, la parábola abre hacia arriba, mientras que si a es negativo, la parábola abre hacia abajo.

5. ¿Cómo se encuentran las raíces de una función cuadrática?

Las raíces de una función cuadrática se encuentran utilizando la fórmula general: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a. Si el discriminante es negativo, la función no tiene raíces reales.