Descubre si un límite existe en una gráfica: Guía práctica

Si estás estudiando cálculo o simplemente te interesa la matemática, seguramente has oído hablar de los límites en las gráficas. Los límites son una herramienta fundamental en el cálculo y su comprensión es esencial para poder avanzar en esta materia. En este artículo te guiaremos para que puedas descubrir si un límite existe en una gráfica de manera práctica.

¿Qué es un límite?

Antes de entrar en materia, es importante comprender qué es un límite. En términos simples, un límite es el valor al que se acerca una función cuando su variable independiente se acerca a un valor específico. En otras palabras, es el valor al que tiende una función cuando su variable independiente se acerca a un punto particular.

¿Cómo se representa un límite en una gráfica?

Los límites se representan en una gráfica mediante una línea horizontal que corta el eje vertical. Esta línea se llama línea límite y se encuentra en el valor de y correspondiente al valor de x al que se acerca la función. En otras palabras, si la función se acerca a un valor de x particular, el límite se representa mediante una línea horizontal que corta el eje vertical en el valor correspondiente de y.

¿Cómo se determina si un límite existe?

Para determinar si un límite existe, debemos evaluar la función en el punto al que se acerca la variable independiente. Si la función se acerca a un valor particular cuando la variable independiente se acerca a un punto específico, decimos que el límite existe. Si no se acerca a ningún valor en particular, decimos que el límite no existe.

Caso 1: Límites laterales

Existen dos tipos de límites: límites laterales y límites en un punto. Los límites laterales se refieren a los valores que toma la función cuando la variable independiente se acerca al punto por la izquierda o por la derecha. Para evaluar un límite lateral, debemos evaluar la función en valores ligeramente inferiores o superiores al punto en cuestión.

Ejemplo:

Consideremos la función f(x) = |x|. Si evaluamos esta función en el punto x=0, obtenemos f(0) = 0. Sin embargo, si evaluamos la función en valores ligeramente inferiores a cero, obtenemos f(-0.1) = 0.1 y si evaluamos la función en valores ligeramente superiores a cero, obtenemos f(0.1) = 0.1. En este caso, los límites laterales existen y son iguales a 0.1.

Caso 2: Límites en un punto

Los límites en un punto se refieren al valor al que tiende la función cuando la variable independiente se acerca al punto en cuestión. Para evaluar el límite en un punto, debemos evaluar la función en valores cercanos al punto en cuestión.

Ejemplo:

Consideremos la función f(x) = x^2/x. Si evaluamos esta función en el punto x=0, obtenemos f(0) = 0/0, lo cual es una indeterminación. Sin embargo, si simplificamos la función, obtenemos f(x) = x y podemos evaluar el límite en el punto x=0. En este caso, el límite existe y es igual a 0.

¿Cómo se grafica un límite?

Para graficar un límite, debemos dibujar una línea horizontal en la gráfica que corte el eje vertical en el valor correspondiente de y. Esta línea representa el límite en cuestión y nos permite visualizar el comportamiento de la función cuando la variable independiente se acerca al punto en cuestión.

Ejemplo:

Consideremos la función f(x) = 1/x. Si evaluamos esta función en el punto x=0, obtenemos f(0) = infinito. Sin embargo, si evaluamos la función en valores cercanos a cero, obtenemos valores grandes en valor absoluto. En este caso, el límite no existe ya que la función no se acerca a ningún valor en particular cuando la variable independiente se acerca a cero.

Conclusión

Para descubrir si un límite existe en una gráfica, debemos evaluar la función en el punto al que se acerca la variable independiente y determinar si se acerca o no a algún valor en particular. Si el límite existe, podemos representarlo en la gráfica mediante una línea horizontal que corte el eje vertical en el valor correspondiente de y.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué sucede si la función no está definida en el punto en cuestión?

Si la función no está definida en el punto en cuestión, debemos evaluar los límites laterales para determinar si el límite existe o no.

2. ¿Cómo se evalúan los límites laterales?

Para evaluar los límites laterales, debemos evaluar la función en valores ligeramente inferiores o superiores al punto en cuestión.

3. ¿Qué sucede si los límites laterales son diferentes?

Si los límites laterales son diferentes, decimos que el límite no existe.

4. ¿Cómo se simplifican las funciones para evaluar límites?

Para simplificar las funciones y evaluar los límites, podemos utilizar propiedades algebraicas como la factorización, el denominador común o las identidades trigonométricas.

5. ¿Qué sucede si el límite es infinito?

Si el límite es infinito, decimos que la función crece sin límite cuando la variable independiente se acerca al punto en cuestión.