Descubre los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función

Cuando se estudia una función, es importante conocer los intervalos en los que ésta crece o decrece. Esto es útil para entender su comportamiento y poder predecir su comportamiento en distintas situaciones.

Para entender mejor este concepto, es importante recordar qué es una función. Una función es una relación entre dos conjuntos de datos, donde cada elemento del primer conjunto se relaciona con un único elemento del segundo conjunto. En términos más simples, una función es como una máquina que toma un número y lo transforma en otro número.

Ahora bien, una función puede crecer o decrecer en distintos intervalos. Cuando decimos que una función crece, nos referimos a que los valores de la función aumentan a medida que aumenta el valor de la variable independiente. Por el contrario, cuando decimos que una función decrece, nos referimos a que los valores de la función disminuyen a medida que aumenta el valor de la variable independiente.

Para encontrar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función, es necesario encontrar su primera derivada. La primera derivada de una función nos indica la tasa de cambio instantánea de la función en cada punto. Si la primera derivada es positiva, la función está creciendo en ese punto. Si la primera derivada es negativa, la función está decreciendo en ese punto.

Una vez que se ha encontrado la primera derivada, es posible utilizarla para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Para hacerlo, es necesario encontrar los puntos críticos de la función, es decir, aquellos puntos en los que la primera derivada es cero. Estos puntos dividen la función en intervalos en los que ésta crece o decrece.

Por ejemplo, si tenemos la función f(x) = x³ - 6x² + 9x + 3, podemos encontrar su primera derivada:

f'(x) = 3x² - 12x + 9

Para encontrar los puntos críticos, igualamos la primera derivada a cero:

3x² - 12x + 9 = 0

Resolviendo esta ecuación, obtenemos:

x₁ = 1, x₂ = 3

Estos son los puntos críticos de la función. Ahora, podemos utilizar la primera derivada para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Para ello, evaluamos la primera derivada en un punto a la izquierda de x₁, entre x₁ y x₂, y a la derecha de x₂. Si la primera derivada es positiva en un intervalo, la función está creciendo en ese intervalo. Si la primera derivada es negativa en un intervalo, la función está decreciendo en ese intervalo.

Por ejemplo, si evaluamos la primera derivada en x = 0, obtenemos:

f'(0) = 9

Como la primera derivada es positiva en este intervalo, podemos concluir que la función está creciendo en el intervalo (-∞, 1).

Si evaluamos la primera derivada en x = 2, obtenemos:

f'(2) = -3

Como la primera derivada es negativa en este intervalo, podemos concluir que la función está decreciendo en el intervalo (1, 3).

Finalmente, si evaluamos la primera derivada en x = 4, obtenemos:

f'(4) = 9

Como la primera derivada es positiva en este intervalo, podemos concluir que la función está creciendo en el intervalo (3, ∞).

Es importante conocer los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función para entender su comportamiento. Para encontrar estos intervalos, es necesario encontrar la primera derivada de la función y utilizarla para encontrar los puntos críticos y los intervalos en los que la función crece o decrece.