Descubre las series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo

Las series de Fourier son una herramienta poderosa en el análisis de señales y sistemas. Permiten descomponer una señal periódica en una suma infinita de funciones sinusoidales, lo que facilita su análisis y procesamiento. En este artículo, vamos a explorar las series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo.

¿Qué verás en este artículo?

¿Qué son las series de Fourier?
Series de Fourier en cosenos
- Ejemplo de serie de Fourier en cosenos
Series de Fourier en senos
- Ejemplo de serie de Fourier en senos
Series de Fourier de medio intervalo
- Ejemplo de serie de Fourier de medio intervalo

¿Qué son las series de Fourier?

Las series de Fourier son una representación matemática de una señal periódica en términos de funciones sinusoidales. Se basan en el hecho de que cualquier función periódica puede descomponerse en una suma infinita de funciones sinusoidales de diferentes frecuencias y amplitudes.

La fórmula general de una serie de Fourier es:

$f(x)=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}(a_ncos(nx)+b_nsin(nx))$

Donde `f(x)` es la función periódica que se quiere descomponer, `a_0` es el término constante, `a_n` y `b_n` son los coeficientes de la serie de Fourier y `n` es el número de armónicos.

Series de Fourier en cosenos

Las series de Fourier en cosenos son un caso especial de las series de Fourier en las que solo se utilizan funciones coseno para la descomposición de la señal. La fórmula general de una serie de Fourier en cosenos es:

$f(x)=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}a_ncos(nx)$

Donde `f(x)` es la función periódica que se quiere descomponer, `a_0` es el término constante y `a_n` son los coeficientes de la serie de Fourier en cosenos.

Ejemplo de serie de Fourier en cosenos

Supongamos que queremos descomponer la función periódica:

$f(x)=begin{cases}1&text{si};0<x<pi\0&text{si};-pi<x<0end{cases}$

En este caso, la función es simétrica respecto al eje `x` y solo contiene componentes en coseno. Por lo tanto, la serie de Fourier en cosenos es:

$f(x)=frac{1}{2}+sum_{n=1}^{infty}frac{2(-1)^n}{npi}cos(nx)$

Esta serie representa una onda cuadrada con picos en `x=0` y `x=pi`.

Series de Fourier en senos

Las series de Fourier en senos son otro caso especial de las series de Fourier en el que solo se utilizan funciones seno para la descomposición de la señal. La fórmula general de una serie de Fourier en senos es:

$f(x)=sum_{n=1}^{infty}b_nsin(nx)$

Donde `f(x)` es la función periódica que se quiere descomponer y `b_n` son los coeficientes de la serie de Fourier en senos.

Ejemplo de serie de Fourier en senos

Supongamos que queremos descomponer la función periódica:

$f(x)=begin{cases}1&text{si};0<x<pi\-1&text{si};-pi<x<0end{cases}$

En este caso, la función es impar respecto al eje `x` y solo contiene componentes en seno. Por lo tanto, la serie de Fourier en senos es:

$f(x)=sum_{n=1}^{infty}frac{2(-1)^{n+1}}{n}sin(nx)$

Esta serie representa una onda diente de sierra.

Series de Fourier de medio intervalo

Las series de Fourier de medio intervalo son una variante de las series de Fourier en las que se descompone una función periódica en términos de funciones coseno y seno solo en la mitad del intervalo de la función. La fórmula general de una serie de Fourier de medio intervalo es:

$f(x)=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}(a_ncos(frac{npi}{l}x)+b_nsin(frac{npi}{l}x))$

Donde `f(x)` es la función periódica que se quiere descomponer, `a_0` es el término constante, `a_n` y `b_n` son los coeficientes de la serie de Fourier y `l` es la longitud del intervalo de la función.

Ejemplo de serie de Fourier de medio intervalo

Supongamos que queremos descomponer la función periódica:

$f(x)=begin{cases}1&text{si};0<x<L\0&text{si};-L<x<0end{cases}$

En este caso, la función es simétrica respecto al eje `x` y solo contiene componentes en coseno y seno. Por lo tanto, la serie de Fourier de medio intervalo es: