Descubre la fórmula: ecuación de circunferencia con 3 puntos

Cuando se trata de geometría, la circunferencia es una de las formas más comunes y populares. Es la forma perfecta, con una simetría y equilibrio que la hacen irresistible para los matemáticos y los artistas por igual. Pero, ¿cómo se puede determinar la ecuación de una circunferencia con solo tres puntos? En este artículo, te mostraremos la fórmula para hacerlo y cómo aplicarla para obtener una ecuación precisa.

¿Qué es una circunferencia?

Antes de sumergirnos en la fórmula para encontrar la ecuación de una circunferencia, es importante tener una comprensión clara de lo que es una circunferencia. En pocas palabras, una circunferencia es una línea curva cerrada en la que todos los puntos están equidistantes del centro. La distancia desde el centro hasta cualquier punto en la circunferencia se llama radio.

La fórmula para encontrar la ecuación de una circunferencia con tres puntos

La fórmula para encontrar la ecuación de una circunferencia a partir de tres puntos se basa en la determinación del centro de la circunferencia y el radio. El centro de la circunferencia es el punto donde se cruzan las dos líneas perpendiculares que pasan por los puntos dados. El radio es la distancia desde el centro hasta cualquier punto en la circunferencia.

Para encontrar la ecuación de una circunferencia con tres puntos dados, sigue estos pasos:

1. Identifica los tres puntos dados en el plano cartesiano y etiquetalos como (x1, y1), (x2, y2), y (x3, y3).

2. Encuentra las pendientes de las líneas que conectan los puntos. Para hacer esto, usa la fórmula:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

3. Encuentra las coordenadas del punto medio entre cada par de puntos. Para hacer esto, usa la fórmula:

((x1 + x2) / 2), ((y1 + y2) / 2)

4. Encuentra las pendientes de las líneas perpendiculares a las líneas que conectan los puntos. Para hacer esto, toma el negativo inverso de la pendiente de la línea original y multiplícala por -1.

5. Usa la fórmula de la línea para encontrar la ecuación de cada línea perpendicular. La fórmula de la línea es:

y = mx + b

Donde "m" es la pendiente y "b" es el punto de intersección y.

6. Encuentra los puntos de intersección de las líneas perpendiculares. Para hacer esto, resuelve los sistemas de ecuaciones de las líneas perpendiculares.

7. Encuentra la distancia entre cada par de puntos. Para hacer esto, usa la fórmula:

d = raíz cuadrada ((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

8. Usa la fórmula del radio para encontrar el radio de la circunferencia. La fórmula del radio es:

r = d / 2

9. Usa la fórmula del centro para encontrar las coordenadas del centro de la circunferencia. La fórmula del centro es:

((x1 + x2 + x3) / 3), ((y1 + y2 + y3) / 3)

10. Finalmente, usa la ecuación general de la circunferencia para encontrar la ecuación de la circunferencia. La ecuación general de la circunferencia es:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Donde (h, k) son las coordenadas del centro y "r" es el radio.

Un ejemplo práctico

Para poner en práctica la fórmula para encontrar la ecuación de una circunferencia con tres puntos, supongamos que tenemos los puntos (2,3), (4,5) y (6,7). Sigue estos pasos:

1. Identifica los tres puntos como (x1, y1) = (2,3), (x2, y2) = (4,5), y (x3, y3) = (6,7).

2. Encuentra las pendientes de las líneas que conectan los puntos. La pendiente de la línea que conecta los puntos (2,3) y (4,5) es (5-3)/(4-2) = 1, mientras que la pendiente de la línea que conecta los puntos (4,5) y (6,7) es (7-5)/(6-4) = 1.

3. Encuentra las coordenadas del punto medio entre cada par de puntos. El punto medio entre los puntos (2,3) y (4,5) es ((2+4)/2, (3+5)/2) = (3,4), mientras que el punto medio entre los puntos (4,5) y (6,7) es ((4+6)/2, (5+7)/2) = (5,6).

4. Encuentra las pendientes de las líneas perpendiculares a las líneas que conectan los puntos. La pendiente de la línea perpendicular a la línea que conecta los puntos (2,3) y (4,5) es -1, mientras que la pendiente de la línea perpendicular a la línea que conecta los puntos (4,5) y (6,7) es -1.

5. Usa la fórmula de la línea para encontrar la ecuación de cada línea perpendicular. La línea perpendicular a la línea que conecta los puntos (2,3) y (4,5) es y = -x + 7, mientras que la línea perpendicular a la línea que conecta los puntos (4,5) y (6,7) es y = -x + 11.

6. Encuentra los puntos de intersección de las líneas perpendiculares. Los puntos de intersección son (5,2) y (3,4).

7. Encuentra la distancia entre cada par de puntos. La distancia entre los puntos (2,3) y (4,5) es raíz cuadrada ((4-2)^2 + (5-3)^2) = raíz cuadrada (8) = 2raíz cuadrada (2), mientras que la distancia entre los puntos (4,5) y (6,7) es raíz cuadrada ((6-4)^2 + (7-5)^2) = raíz cuadrada (8) = 2raíz cuadrada (2).

8. Usa la fórmula del radio para encontrar el radio de la circunferencia. El radio es la mitad de la distancia entre los puntos de intersección, es decir, r = 2raíz cuadrada (2)/2 = raíz cuadrada (2).

9. Usa la fórmula del centro para encontrar las coordenadas del centro de la circunferencia. Las coordenadas del centro son ((2+4+6)/3, (3+5+7)/3) = (4,5).

10. Finalmente, usa la ecuación general de la circunferencia para encontrar la ecuación de la circunferencia. La ecuación general de la circunferencia es (x-