Descubre el intervalo de crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática

Las funciones cuadráticas son una de las herramientas más útiles en matemáticas para modelar y predecir la relación entre dos variables. Estas funciones tienen la forma de una ecuación cuadrática, que se escribe como y = ax² + bx + c. La letra "y" representa la variable dependiente, mientras que "x" es la variable independiente. En este artículo, exploraremos cómo determinar el intervalo de crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática.

Entendiendo la función cuadrática

Antes de poder determinar el intervalo de crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática, es importante entender cómo funciona esta ecuación. La forma estándar de una función cuadrática es y = ax² + bx + c. La letra "a" controla el ancho y la dirección de la parábola, mientras que "b" y "c" desplazan la parábola hacia arriba o hacia abajo.

Cuando graficamos una función cuadrática en un plano cartesiano, vemos una curva en forma de "U" llamada parábola. La parábola tiene un punto más bajo, llamado vértice, que es el punto en el que la función cambia de dirección.

Intervalo de crecimiento y decrecimiento

Ahora que sabemos cómo funciona una función cuadrática, podemos determinar su intervalo de crecimiento y decrecimiento. El intervalo de crecimiento de una función cuadrática es el conjunto de valores de "x" para los cuales la función aumenta. El intervalo de decrecimiento es el conjunto de valores de "x" para los cuales la función disminuye.

Para encontrar el intervalo de crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática, primero debemos encontrar el vértice de la parábola. Esto se puede hacer usando la fórmula del vértice, que es x = -b/2a. Una vez que tenemos el valor de "x" del vértice, podemos sustituirlo en la ecuación original para encontrar el valor de "y" del vértice.

Una vez que tenemos el vértice, podemos determinar el intervalo de crecimiento y decrecimiento de la función cuadrática. Si "a" es positivo, la parábola se abre hacia arriba y el intervalo de crecimiento es desde el vértice hasta infinito. El intervalo de decrecimiento es desde menos infinito hasta el vértice.

Si "a" es negativo, la parábola se abre hacia abajo y el intervalo de crecimiento es desde menos infinito hasta el vértice. El intervalo de decrecimiento es desde el vértice hasta infinito.

Ejemplo práctico

Veamos un ejemplo práctico. Supongamos que tenemos una función cuadrática y = 2x² - 4x + 1. Primero, encontramos el vértice de la parábola usando la fórmula del vértice:

x = -b/2a = -(-4)/2(2) = 1

Sustituyendo "x = 1" en la ecuación original, encontramos el valor de "y" del vértice:

y = 2(1)² - 4(1) + 1 = -1

Por lo tanto, el vértice de la parábola es (1,-1). Como "a" es positivo, la parábola se abre hacia arriba y el intervalo de crecimiento es desde el vértice hasta infinito. El intervalo de decrecimiento es desde menos infinito hasta el vértice. Por lo tanto, el intervalo de crecimiento es x ≥ 1 y el intervalo de decrecimiento es x ≤ 1.

Conclusión

El intervalo de crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática se determina encontrando el vértice de la parábola y evaluando la dirección en la que se abre. Si la parábola se abre hacia arriba, el intervalo de crecimiento es desde el vértice hasta infinito y el intervalo de decrecimiento es desde menos infinito hasta el vértice. Si la parábola se abre hacia abajo, el intervalo de crecimiento es desde menos infinito hasta el vértice y el intervalo de decrecimiento es desde el vértice hasta infinito.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una función cuadrática?
Una función cuadrática es una ecuación cuadrática que describe la relación entre dos variables. Estas funciones tienen la forma de y = ax² + bx + c.

2. ¿Qué es el vértice de una parábola?
El vértice de una parábola es el punto más bajo de la curva. Es el punto en el que la función cambia de dirección.

3. ¿Cómo encuentro el vértice de una parábola?
El vértice de una parábola se puede encontrar usando la fórmula del vértice, que es x = -b/2a. Una vez que tenemos el valor de "x" del vértice, podemos sustituirlo en la ecuación original para encontrar el valor de "y" del vértice.

4. ¿Qué es el intervalo de crecimiento de una función cuadrática?
El intervalo de crecimiento de una función cuadrática es el conjunto de valores de "x" para los cuales la función aumenta.

5. ¿Qué es el intervalo de decrecimiento de una función cuadrática?
El intervalo de decrecimiento de una función cuadrática es el conjunto de valores de "x" para los cuales la función disminuye.