Descubre cómo hallar puntos críticos en funciones de dos variables

Si estás estudiando cálculo multivariable, es probable que te hayas encontrado con el concepto de puntos críticos en funciones de dos variables. Estos puntos son importantes porque nos indican dónde la función alcanza un máximo, un mínimo o un punto de silla. En este artículo, te explicaremos cómo encontrar puntos críticos en funciones de dos variables de manera sencilla y con ejemplos claros.

¿Qué son los puntos críticos?

Antes de entrar en detalle sobre cómo encontrar puntos críticos, es importante entender qué son. En términos simples, un punto crítico es un punto en el que la función tiene una pendiente de cero o no existe. Es decir, es un punto en el que la función no crece ni decrece. Este tipo de puntos pueden ser máximos, mínimos o puntos de silla.

¿Cómo encontrar puntos críticos?

Para encontrar puntos críticos en una función de dos variables, hay que seguir los siguientes pasos:

1. Calcular las derivadas parciales de la función con respecto a cada variable.
2. Igualar las derivadas parciales a cero y resolver para obtener los valores de las variables.
3. Analizar los resultados obtenidos para determinar si los puntos encontrados son máximos, mínimos o puntos de silla.

Veamos un ejemplo para entender mejor estos pasos.

Ejemplo

Encontremos los puntos críticos de la función f(x,y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 8.

Paso 1: Calcular las derivadas parciales de la función con respecto a cada variable.

fx = 2x - 4
fy = 2y - 6

Paso 2: Igualar las derivadas parciales a cero y resolver para obtener los valores de las variables.

2x - 4 = 0
2y - 6 = 0

x = 2
y = 3

Paso 3: Analizar los resultados obtenidos para determinar si los puntos encontrados son máximos, mínimos o puntos de silla.

Para analizar los resultados, podemos usar la matriz Hessiana. La matriz Hessiana es una matriz cuadrada que se construye a partir de las segundas derivadas parciales de la función. En este caso, la matriz Hessiana es:

H = |2 0|
|0 2|

Para determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o puntos de silla, hay que analizar los valores propios de la matriz Hessiana. Si los valores propios son todos positivos, el punto crítico es un mínimo. Si son todos negativos, es un máximo. Y si hay valores positivos y negativos, es un punto de silla.

En este caso, los valores propios son 2 y 2, que son positivos. Por lo tanto, el punto crítico (2,3) es un mínimo.

Conclusión

Encontrar puntos críticos en funciones de dos variables es una habilidad importante en cálculo multivariable. Siguiendo los pasos que hemos descrito en este artículo, puedes encontrar puntos críticos de manera sencilla y analizarlos para determinar si son máximos, mínimos o puntos de silla. Recuerda que la matriz Hessiana es una herramienta útil para analizar los resultados obtenidos.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué significa que una función tenga una pendiente de cero?

Significa que la función no crece ni decrece en ese punto. Es decir, la tangente a la curva en ese punto es horizontal.

2. ¿Por qué los puntos críticos son importantes?

Los puntos críticos son importantes porque nos indican dónde la función alcanza un máximo, un mínimo o un punto de silla. Estos puntos nos permiten entender mejor el comportamiento de la función y hacer predicciones sobre su comportamiento en otros puntos.

3. ¿Qué es la matriz Hessiana?

La matriz Hessiana es una matriz cuadrada que se construye a partir de las segundas derivadas parciales de una función. Esta matriz se utiliza para analizar los puntos críticos y determinar si son máximos, mínimos o puntos de silla.

4. ¿Cómo se calculan las derivadas parciales de una función?

Las derivadas parciales se calculan derivando la función con respecto a una variable y tratando las otras variables como constantes. Por ejemplo, si tenemos la función f(x,y) = x^2 + 2xy + y^2, la derivada parcial de f con respecto a x sería 2x + 2y, y la derivada parcial de f con respecto a y sería 2x + 2y.

5. ¿Qué es un punto de silla?

Un punto de silla es un punto crítico en el que la función no tiene un máximo ni un mínimo, sino un punto de inflexión. La función cambia de crecer a decrecer o viceversa en diferentes direcciones. En un punto de silla, la matriz Hessiana tiene valores propios positivos y negativos.