Calcula la suma total: Progresión geométrica

¿Qué es una progresión geométrica?

Una progresión geométrica (PG) es una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón. La fórmula general para una PG es a, ar, ar², ar³, ..., donde a es el primer término y r es la razón.

Cómo calcular la suma de una progresión geométrica

Para calcular la suma de una PG, usamos la fórmula:

S = a(1 - r^n) / (1 - r)

donde S es la suma total, a es el primer término, r es la razón y n es el número de términos.

Ejemplo:

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la PG 2, 4, 8, 16, ...

Primero, identificamos a = 2 y r = 2 (ya que cada término es el doble del anterior). También sabemos que n = 5 (queremos sumar los primeros 5 términos).

S = 2(1 - 2^5) / (1 - 2) = 62

Por lo tanto, la suma de los primeros 5 términos de la PG es 62.

Aplicaciones de las progresiones geométricas

Las progresiones geométricas se utilizan en una variedad de campos, desde la matemática y la física hasta las finanzas y la economía. Por ejemplo, en finanzas, una PG se puede utilizar para modelar el crecimiento de una inversión a lo largo del tiempo, y en la física, las PG se utilizan para modelar el crecimiento exponencial de poblaciones y la desintegración radioactiva.

Ejemplo:

Supongamos que tenemos una inversión inicial de $1000 que crece a una tasa del 5% anual. Queremos saber cuánto valdrá nuestra inversión después de 10 años.

Utilizando la fórmula de la PG, tenemos que a = 1000, r = 1.05 y n = 10.

S = 1000(1 - 1.05^10) / (1 - 1.05) = $1628.89

Por lo tanto, después de 10 años, nuestra inversión valdrá $1628.89.

Conclusión

Las progresiones geométricas son una herramienta útil para modelar el crecimiento exponencial en una variedad de campos. Al entender cómo calcular la suma de una PG, podemos utilizar esta herramienta para predecir el crecimiento de una inversión, población o proceso químico, entre otros.

Preguntas frecuentes

1. ¿Cómo sé si una secuencia de números es una progresión geométrica?

Una secuencia de números es una progresión geométrica si cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón. Si los términos no siguen esta regla, entonces no es una PG.

2. ¿Qué es la razón en una progresión geométrica?

La razón en una progresión geométrica es la constante que se utiliza para obtener cada término multiplicando el anterior.

3. ¿Cómo calculo la razón en una progresión geométrica?

Para calcular la razón en una progresión geométrica, simplemente divide cualquier término por el término anterior.

4. ¿Cuál es la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinita?

La fórmula para la suma de una PG infinita es S = a / (1 - r), donde a es el primer término y r es la razón.

5. ¿Qué pasa si la razón en una progresión geométrica es negativa?

Si la razón en una progresión geométrica es negativa, la secuencia alternará entre números positivos y negativos. La fórmula para calcular la suma sigue siendo la misma.