Calcula la distancia punto-recta de forma rápida y sencilla

Imagina que tienes un punto cualquiera en un plano y una recta que atraviesa ese mismo plano. ¿Cómo puedes calcular la distancia entre ese punto y esa recta? Aunque parezca complicado, en realidad es bastante sencillo si conoces las fórmulas adecuadas.

En este artículo te enseñaremos cómo calcular la distancia punto-recta de forma rápida y sencilla. Te explicaremos qué es la distancia punto-recta, cuáles son las fórmulas que necesitas conocer y algunos ejemplos prácticos para que puedas entenderlo mejor. ¡Empecemos!

¿Qué es la distancia punto-recta?

La distancia punto-recta es la distancia más corta entre un punto y una recta en un plano. Esta distancia se mide perpendicularmente desde el punto hasta la recta. En otras palabras, es la distancia que recorre una línea que une el punto y la recta, y que forma un ángulo de 90 grados con la recta.

Fórmulas para calcular la distancia punto-recta

Existen varias fórmulas para calcular la distancia punto-recta, pero las más comunes son las siguientes:

- Fórmula 1: si conoces las coordenadas del punto y la ecuación de la recta.
Para calcular la distancia entre un punto (x1, y1) y una recta con ecuación ax + by + c = 0, sigue los siguientes pasos:
1. Calcula la ecuación de la recta perpendicular a la recta original y que pase por el punto (x1, y1). Para ello, usa la fórmula y - y1 = -1/b(x - x1).
2. Encuentra el punto de intersección entre ambas rectas. Para ello, resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones.
3. Calcula la distancia entre el punto (x1, y1) y el punto de intersección encontrado.

- Fórmula 2: si conoces las coordenadas de dos puntos que pertenecen a la recta.
Para calcular la distancia entre un punto (x1, y1) y una recta que pasa por los puntos (x2, y2) y (x3, y3), sigue los siguientes pasos:
1. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x2, y2) y (x3, y3). Para ello, usa la fórmula y - y2 = (y3 - y2)/(x3 - x2)(x - x2).
2. Calcula la ecuación de la recta perpendicular a la recta anterior y que pase por el punto (x1, y1). Para ello, usa la fórmula y - y1 = -1/b(x - x1).
3. Encuentra el punto de intersección entre ambas rectas. Para ello, resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones.
4. Calcula la distancia entre el punto (x1, y1) y el punto de intersección encontrado.

Ejemplos prácticos de distancia punto-recta

Para entender mejor cómo calcular la distancia punto-recta, vamos a ver algunos ejemplos prácticos.

Ejemplo 1

Calcula la distancia entre el punto (2, 3) y la recta con ecuación x + 2y - 5 = 0.

Para resolver este problema, seguimos los pasos de la Fórmula 1. Primero, calculamos la ecuación de la recta perpendicular a la recta dada y que pase por el punto (2, 3). Esta ecuación es y - 3 = -1/2(x - 2), que simplificada queda como y = -1/2x + 4. Luego, encontramos el punto de intersección entre ambas rectas, que es (1, 3/2). Finalmente, calculamos la distancia entre el punto (2, 3) y el punto de intersección, que es aproximadamente 1.12.

Ejemplo 2

Calcula la distancia entre el punto (4, 5) y la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 6).

Para resolver este problema, seguimos los pasos de la Fórmula 2. Primero, calculamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 6). Esta ecuación es y - 2 = 2(x - 1), que simplificada queda como y = 2x - 2. Luego, calculamos la ecuación de la recta perpendicular a la recta anterior y que pase por el punto (4, 5). Esta ecuación es y - 5 = -1/2(x - 4), que simplificada queda como y = -1/2x + 7. Después, encontramos el punto de intersección entre ambas rectas, que es (2, 3). Finalmente, calculamos la distancia entre el punto (4, 5) y el punto de intersección, que es aproximadamente 2.83.

Conclusión

Calcular la distancia punto-recta puede parecer complicado, pero con las fórmulas adecuadas y algunos ejemplos prácticos, puedes hacerlo de forma rápida y sencilla. Recuerda que la distancia punto-recta es la distancia más corta entre un punto y una recta en un plano, y que se mide perpendicularmente desde el punto hasta la recta.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una recta en un plano?

Una recta en un plano es una línea infinita que se extiende en dos direcciones opuestas. Está formada por puntos que cumplen una ecuación lineal.

2. ¿Qué es una ecuación lineal?

Una ecuación lineal es una expresión matemática que relaciona dos o más variables de forma lineal. En el caso de las rectas en un plano, la ecuación lineal se escribe como ax + by + c = 0.

3. ¿Qué es una recta perpendicular?

Una recta perpendicular es aquella que forma un ángulo de 90 grados con otra recta. En el caso de la distancia punto-recta, la recta perpendicular es la que une el punto con la recta y que forma un ángulo de 90 grados con la recta.

4. ¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que se resuelven simultáneamente para encontrar los valores de las variables que las satisfacen.

5. ¿Para qué se utiliza la distancia punto-recta?

La distancia punto-recta se utiliza en diversos contextos, como la geometría, la trigonometría, la física y la ingeniería. Por ejemplo, puede ser útil para calcular la distancia entre un punto y una línea de producción en una fábrica, o para calcular la distancia entre un objeto y un sensor en un robot.