Calcula fácilmente el término general de una sucesión geométrica

Si estás estudiando matemáticas, es muy probable que hayas escuchado hablar de las sucesiones geométricas. Estas son una serie de números que tienen una relación entre sí, donde cada término es el resultado de multiplicar el término anterior por una constante llamada razón. Pero, ¿cómo podemos calcular fácilmente el término general de una sucesión geométrica?

En este artículo te explicaremos paso a paso cómo hacerlo, de manera que puedas resolver cualquier problema o ejercicio que se te presente relacionado con este tema. Además, utilizaremos analogías y ejemplos para que puedas entenderlo de manera sencilla y clara.

¿Qué es una sucesión geométrica?

Antes de empezar a calcular el término general de una sucesión geométrica, es importante que sepas qué es una sucesión geométrica. Como mencionamos anteriormente, es una serie de números que tienen una relación entre sí.

En una sucesión geométrica, el primer término se llama a₁ y la razón se representa con la letra r. Cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el término anterior por la razón. Es decir,

a₂ = a₁ * r

a₃ = a₂ * r = a₁ * r²

a₄ = a₃ * r = a₁ * r³

Y así sucesivamente.

Cómo calcular el término general de una sucesión geométrica

Para calcular el término general de una sucesión geométrica, necesitamos conocer el primer término y la razón. Esto se debe a que cada término se obtiene multiplicando el anterior por la razón.

El término general de una sucesión geométrica se representa con la fórmula:

an = a₁ * r^(n-1)

Donde a₁ es el primer término, r es la razón y n es el número de término que deseamos calcular.

Veamos un ejemplo para entenderlo mejor. Supongamos que tenemos la siguiente sucesión geométrica:

2, 4, 8, 16, 32, ...

En este caso, el primer término es a₁ = 2 y la razón es r = 2, ya que cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2.

Si queremos calcular el término general para n = 6, podemos aplicar la fórmula:

a6 = 2 * 2^(6-1) = 2 * 2^5 = 2 * 32 = 64

Por lo tanto, el sexto término de la sucesión geométrica es 64.

Ejemplos de sucesiones geométricas

Para que puedas entender mejor cómo funciona el cálculo del término general de una sucesión geométrica, te presentamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1:

1, 2, 4, 8, 16, ...

En este caso, el primer término es a₁ = 1 y la razón es r = 2, ya que cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2.

Si queremos calcular el quinto término (n = 5), podemos aplicar la fórmula:

a5 = 1 * 2^(5-1) = 1 * 16 = 16

Por lo tanto, el quinto término de la sucesión geométrica es 16.

Ejemplo 2:

3, 6, 12, 24, 48, ...

En este caso, el primer término es a₁ = 3 y la razón es r = 2, ya que cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2.

Si queremos calcular el octavo término (n = 8), podemos aplicar la fórmula:

a8 = 3 * 2^(8-1) = 3 * 128 = 384

Por lo tanto, el octavo término de la sucesión geométrica es 384.

Tablas de sucesiones geométricas

Otra manera de entender las sucesiones geométricas es mediante el uso de tablas. En estas tablas, podemos ver los términos de la sucesión y su relación con la razón.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo 3:

5, 15, 45, 135, ...

En este caso, el primer término es a₁ = 5 y la razón es r = 3, ya que cada término se obtiene multiplicando el anterior por 3.

Para hacer la tabla, podemos empezar por el primer término y luego ir multiplicando por la razón:

| Término | Valor |
|---------|-------|
| a₁ | 5 |
| a₂ | 15 |
| a₃ | 45 |
| a₄ | 135 |
| a₅ | 405 |

De esta manera, podemos ver que cada término se obtiene multiplicando el anterior por 3.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es la razón en una sucesión geométrica?

La razón es la constante que se utiliza para obtener cada término de la sucesión geométrica. Se representa con la letra r y se obtiene dividiendo cualquier término de la sucesión por su término anterior.

2. ¿Cómo se representa el término general de una sucesión geométrica?

El término general de una sucesión geométrica se representa con la fórmula: an = a₁ * r^(n-1), donde a₁ es el primer término, r es la razón y n es el número de término que deseamos calcular.

3. ¿En qué se diferencia una sucesión geométrica de una sucesión aritmética?

En una sucesión aritmética, cada término se obtiene sumando una constante llamada diferencia al término anterior. En una sucesión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón.

4. ¿Cómo puedo saber si una sucesión geométrica está bien planteada?

Para saber si una sucesión geométrica está bien planteada, debes verificar que la razón entre cualquier término y su término anterior sea constante.

5. ¿Cómo puedo utilizar el término general de una sucesión geométrica?

El término general de una sucesión geométrica te permite calcular cualquier término de la sucesión sin tener que conocer todos los términos anteriores. Esto es útil para resolver problemas y ejercicios relacionados con este tema.