Recta y circunferencia: ejercicios resueltos de posiciones relativas

Cuando estudiamos geometría, uno de los temas más importantes es el de las posiciones relativas entre rectas y circunferencias. En este artículo, te mostraremos algunos ejercicios resueltos para que puedas entender mejor cómo se relacionan estos dos elementos.

Posiciones relativas entre rectas y circunferencias

Antes de comenzar con los ejercicios, es importante recordar las diferentes posiciones relativas que puede haber entre una recta y una circunferencia:

• La recta es secante a la circunferencia si corta a ésta en dos puntos.
• La recta es tangente a la circunferencia si corta a ésta en un único punto.
• La recta es exterior a la circunferencia si no corta a ésta y se encuentra completamente fuera de ella.
• La recta es interior a la circunferencia si no corta a ésta y se encuentra completamente dentro de ella.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1:

Dada la circunferencia de ecuación $x^2+y^2=25$ y la recta de ecuación $y=x-2$, determina las posiciones relativas entre la recta y la circunferencia.

Solución:

Para resolver este ejercicio, lo primero que tenemos que hacer es igualar las ecuaciones de la recta y la circunferencia:

$$x^2+y^2=25$$
$$y=x-2$$

Sustituimos $y$ en la primera ecuación:

$$x^2+(x-2)^2=25$$

Desarrollamos y simplificamos:

$$2x^2-4x-21=0$$

Resolviendo esta ecuación de segundo grado, obtenemos dos soluciones:

$$x=frac{4pmsqrt{88}}{4}$$

Sustituimos cada valor de $x$ en la ecuación de la recta para obtener los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia. Obtenemos los puntos $(frac{1+sqrt{11}}{2},frac{3+sqrt{11}}{2})$ y $(frac{1-sqrt{11}}{2},frac{3-sqrt{11}}{2})$.

Podemos ver que la recta corta a la circunferencia en dos puntos distintos, por lo que decimos que la recta es secante a la circunferencia.

Ejercicio 2:

Dada la circunferencia de ecuación $x^2+y^2=16$ y la recta de ecuación $y=2x+4$, determina las posiciones relativas entre la recta y la circunferencia.

Solución:

Igualando las ecuaciones de la recta y la circunferencia, obtenemos:

$$x^2+(2x+4)^2=16$$

Desarrollando y simplificando, obtenemos una ecuación de segundo grado:

$$5x^2+16x-12=0$$

Resolviendo esta ecuación, obtenemos dos soluciones:

$$x=frac{-8pmsqrt{344}}{5}$$

Sustituyendo cada valor de $x$ en la ecuación de la recta, obtenemos los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia. Obtenemos los puntos $(frac{-2+sqrt{86}}{5},frac{2sqrt{86}}{5})$ y $(frac{-2-sqrt{86}}{5},frac{-2sqrt{86}}{5})$.

Podemos ver que la recta corta a la circunferencia en dos puntos distintos, por lo que decimos que la recta es secante a la circunferencia.

Ejercicio 3:

Dada la circunferencia de ecuación $x^2+y^2=9$ y la recta de ecuación $y=3$, determina las posiciones relativas entre la recta y la circunferencia.

Solución:

Igualando las ecuaciones de la recta y la circunferencia, obtenemos:

$$x^2+9=9$$

Despejando $x$, obtenemos:

$$x=0$$

Sustituyendo $x$ en la ecuación de la recta, obtenemos el punto de intersección entre la recta y la circunferencia: $(0,3)$.

Podemos ver que la recta corta a la circunferencia en un único punto, por lo que decimos que la recta es tangente a la circunferencia.

Conclusión

En geometría, es importante conocer las diferentes posiciones relativas que pueden haber entre rectas y circunferencias. Con los ejercicios resueltos que hemos visto en este artículo, esperamos que hayas comprendido mejor este concepto.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una recta secante a una circunferencia?

Una recta es secante a una circunferencia si corta a ésta en dos puntos.

¿Qué es una recta tangente a una circunferencia?

Una recta es tangente a una circunferencia si corta a ésta en un único punto.

¿Qué es una recta exterior a una circunferencia?

Una recta es exterior a una circunferencia si no corta a ésta y se encuentra completamente fuera de ella.

¿Qué es una recta interior a una circunferencia?

Una recta es interior a una circunferencia si no corta a ésta y se encuentra completamente dentro de ella.

¿Cómo se resuelven los ejercicios de posiciones relativas entre rectas y circunferencias?

Para resolver estos ejercicios, hay que igualar las ecuaciones de la recta y la circunferencia, obtener las soluciones de la ecuación resultante y sustituir cada valor de $x$ en la ecuación de la recta para obtener los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia. A partir de ahí, se determina la posición relativa entre la recta y la circunferencia.