Descubre la ecuación de la parábola con vértice y foco en pocos pasos

¿Alguna vez te has preguntado cómo se puede encontrar la ecuación de una parábola con solo conocer su vértice y su foco? Pues bien, en este artículo te explicaremos cómo hacerlo en pocos pasos.

Pero antes de entrar en materia, es importante que tengas en cuenta algunos conceptos básicos. La parábola es una curva que se forma al cortar un cono por un plano paralelo a su generatriz. La ecuación general de una parábola es y = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son coeficientes que determinan su forma y posición en el plano cartesiano.

El vértice de la parábola es el punto más cercano al eje de simetría, que es una línea recta que divide la curva en dos partes iguales. El foco, por su parte, es un punto situado en el eje de simetría y a una distancia fija del vértice.

Ahora sí, veamos cómo encontrar la ecuación de la parábola con vértice y foco.

Paso 1: Identifica las coordenadas del vértice y del foco

Lo primero que debes hacer es identificar las coordenadas del vértice y del foco de la parábola. Supongamos que el vértice tiene las coordenadas (h,k) y el foco las coordenadas (h,k + p), donde p es la distancia entre el foco y el vértice.

Paso 2: Encuentra el valor de "a"

Una vez que tienes las coordenadas del vértice y del foco, puedes encontrar el valor de "a" usando la fórmula a = 1 / 4p. Es importante recordar que el valor de "a" determina la apertura y la dirección de la parábola. Si "a" es positivo, la parábola se abre hacia arriba; si "a" es negativo, se abre hacia abajo.

Paso 3: Encuentra el valor de "b"

Una vez que tienes el valor de "a", puedes encontrar el valor de "b" usando la fórmula b = -2ah. Recuerda que "h" es la coordenada x del vértice.

Paso 4: Encuentra el valor de "c"

Finalmente, puedes encontrar el valor de "c" usando la fórmula c = k - ah^2.

Ejemplo práctico

Supongamos que tenemos una parábola con vértice en el punto (2,3) y foco en el punto (2,5). Para encontrar su ecuación, podemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Identificamos las coordenadas del vértice y del foco: h = 2, k = 3, p = 2.

Paso 2: Encontramos el valor de "a": a = 1 / 4p = 1 / 8.

Paso 3: Encontramos el valor de "b": b = -2ah = -2 * (1/8) * 2 = -1/2.

Paso 4: Encontramos el valor de "c": c = k - ah^2 = 3 - (1/8) * 2^2 = 2.75.

Por lo tanto, la ecuación de la parábola es y = (1/8)x^2 - (1/2)x + 2.75.

Conclusión

Encontrar la ecuación de una parábola con vértice y foco puede parecer complicado, pero siguiendo estos pocos pasos podemos hacerlo de manera sencilla. Es importante recordar que el valor de "a" determina la apertura y la dirección de la parábola, mientras que los valores de "b" y "c" determinan su posición en el plano cartesiano.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una parábola?

La parábola es una curva que se forma al cortar un cono por un plano paralelo a su generatriz.

¿Cómo se encuentra el vértice de una parábola?

El vértice de la parábola es el punto más cercano al eje de simetría. Su coordenada x es igual a -b/2a, mientras que su coordenada y es igual a f(-b/2a), donde f(x) es la ecuación de la parábola.

¿Cómo se encuentra el foco de una parábola?

El foco de la parábola es un punto situado en el eje de simetría y a una distancia fija del vértice. Su coordenada x es igual a h, mientras que su coordenada y es igual a k + p, donde p es la distancia entre el foco y el vértice.

¿Qué es la distancia focal de una parábola?

La distancia focal de una parábola es la distancia entre el foco y el vértice. Se denota por "p".

¿Cómo se grafica una parábola?

Para graficar una parábola, se pueden encontrar algunos puntos clave como el vértice, el foco y el punto de corte con el eje y. Luego, se pueden trazar las ramas de la parábola a partir de estos puntos.