Calcula distancias con facilidad: ejercicios en el plano cartesiano

El plano cartesiano es una herramienta matemática que nos permite representar visualmente diferentes conceptos como puntos, líneas y figuras geométricas. Además, es una herramienta muy útil para calcular distancias entre puntos en un plano bidimensional. En este artículo, te mostraremos cómo calcular distancias en el plano cartesiano a través de ejercicios sencillos.

¿Qué es el plano cartesiano?

Antes de entrar en materia, es importante entender qué es el plano cartesiano. El plano cartesiano es un sistema de coordenadas que se compone de dos rectas numéricas perpendiculares entre sí, conocidas como el eje x y el eje y. Estas rectas se cortan en un punto llamado origen, que se representa por el punto (0,0). Cada punto en el plano se puede representar mediante una pareja ordenada de números (x,y) que indican la posición del punto en relación al origen.

Cómo calcular la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano se puede calcular utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Donde d es la distancia entre los dos puntos, (x1,y1) y (x2,y2) son las coordenadas de los puntos que se quieren medir.

Ejercicio 1:

Calcula la distancia entre los puntos A(3,4) y B(7,8).

Para resolver este ejercicio, aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

d = √((7 - 3)^2 + (8 - 4)^2)
d = √(16 + 16)
d = √32
d ≈ 5.6568

Por lo tanto, la distancia entre los puntos A y B es de aproximadamente 5.6568 unidades.

Ejercicio 2:

Calcula la distancia entre los puntos C(-2,3) y D(1,-1).

Para resolver este ejercicio, aplicamos la misma fórmula:

d = √((1 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2)
d = √(9 + 16)
d = √25
d = 5

Por lo tanto, la distancia entre los puntos C y D es de 5 unidades.

Cómo calcular la distancia entre un punto y una recta en el plano cartesiano

Además de calcular la distancia entre dos puntos, también es posible calcular la distancia entre un punto y una recta en el plano cartesiano. Para hacer esto, necesitamos conocer la ecuación de la recta y la coordenada del punto.

Ejercicio 3:

Calcula la distancia entre el punto E(4,-1) y la recta y = 2x - 1.

Para resolver este ejercicio, primero necesitamos encontrar el punto en la recta que está más cerca del punto E. Para hacer esto, encontramos la recta perpendicular a la recta dada que pasa por el punto E.

La pendiente de la recta dada es 2, por lo que la pendiente de la recta perpendicular es -1/2. Utilizando la ecuación punto-pendiente, encontramos la ecuación de la recta perpendicular:

y + 1 = (-1/2)(x - 4)
y = (-1/2)x + 3

A continuación, encontramos el punto de intersección entre las dos rectas resolviendo el sistema de ecuaciones:

2x - 1 = (-1/2)x + 3
2.5x = 4
x = 1.6

Sustituyendo x en la ecuación de la recta, encontramos y:

y = (-1/2)(1.6) + 3
y = 2.2

Por lo tanto, el punto en la recta más cercano al punto E es F(1.6,2.2). Ahora podemos calcular la distancia entre los dos puntos utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos:

d = √((1.6 - 4)^2 + (2.2 - (-1))^2)
d = √(2.56 + 27.04)
d ≈ 5.3

Por lo tanto, la distancia entre el punto E y la recta y = 2x - 1 es de aproximadamente 5.3 unidades.

Cómo calcular la distancia entre dos rectas en el plano cartesiano

También es posible calcular la distancia entre dos rectas en el plano cartesiano. Para hacer esto, necesitamos encontrar la distancia entre dos puntos en las rectas que estén más cercanos entre sí.

Ejercicio 4:

Calcula la distancia entre las rectas y = 2x - 1 y y = -2x + 5.

Para resolver este ejercicio, encontramos los puntos en cada recta que están más cercanos entre sí. En este caso, los puntos son los de intersección entre las rectas y la recta perpendicular que pasa por el origen.

La pendiente de la recta y = 2x - 1 es 2, por lo que la pendiente de la recta perpendicular es -1/2. Utilizando la ecuación punto-pendiente, encontramos la ecuación de la recta perpendicular:

y = (-1/2)x

A continuación, encontramos los puntos de intersección entre las rectas y la recta perpendicular:

2x - 1 = (-1/2)x
2.5x = 1
x = 0.4

Sustituyendo x en la ecuación de la recta, encontramos y:

y = (-1/2)(0.4)
y = -0.2

Por lo tanto, el punto en la recta y = 2x - 1 más cercano al origen es G(0.4,-0.2).

Para encontrar el punto en la recta y = -2x + 5 más cercano a G, podemos utilizar el mismo método:

La pendiente de la recta y = -2x + 5 es -2, por lo que la pendiente de la recta perpendicular es 1/2. Utilizando la ecuación punto-pendiente, encontramos la ecuación de la recta perpendicular:

y + 0.2 = (1/2)(x - 0.4)
y = (1/2)x - 0.3

A continuación, encontramos el punto de intersección entre las dos rectas resolviendo el sistema de ecuaciones:

2x - 1 = -2x + 5
4x = 6
x = 1.5

Sustituyendo x en la ecuación de la recta, encontramos y:

y = (1/2)(1.5) - 0.3
y = 0.3

Por lo tanto, el punto en la recta y = -2x + 5 más cercano a G es H(1.5,0.3).

Ahora podemos calcular la distancia entre los puntos G y H utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos:

d = √((1.5 - 0.4)^2 + (0.3 - (-0.2))^2)
d = √(1.21 + 0.25)
d ≈ 1.36

Por lo tanto, la distancia entre las rectas y = 2x - 1 y y = -