Derivadas resueltas: ejercicios de máximos y mínimos

Las derivadas son una herramienta fundamental en el cálculo y la matemática en general. Permiten analizar el comportamiento de una función en un punto determinado, y son especialmente útiles para encontrar valores máximos y mínimos. En este artículo, vamos a resolver algunos ejercicios de máximos y mínimos utilizando derivadas.

Conceptos básicos de derivadas

Antes de comenzar con los ejercicios, es importante repasar algunos conceptos básicos de las derivadas. La derivada de una función es la tasa de cambio instantánea de la función en un punto determinado. En otras palabras, nos indica cuánto cambia la función en ese punto en relación a una pequeña variación en la variable independiente.

La notación más común para la derivada de una función y en relación a una variable x es f'(x) o dy/dx. Para encontrar la derivada de una función, se utiliza la regla de la cadena, que consiste en aplicar la derivada a cada término de la función y multiplicarlos entre sí.

Ejercicios de máximos y mínimos

A continuación, vamos a resolver algunos ejercicios de máximos y mínimos utilizando derivadas. En cada caso, comenzaremos por encontrar la derivada de la función y luego utilizaremos algunas propiedades para encontrar los valores máximos y mínimos.

Ejercicio 1

Encuentra los valores máximos y mínimos de la función f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 en el intervalo [0,3].

Solución:

Primero, encontramos la derivada de la función:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Luego, igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

3x^2 - 12x + 9 = 0

Resolviendo esta ecuación, obtenemos dos soluciones: x = 1 y x = 3. Estos son los puntos críticos de la función.

Ahora, evaluamos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:

f(0) = 2
f(1) = 6
f(3) = 2

Entonces, el valor mínimo de la función es f(3) = 2 y el valor máximo es f(1) = 6.

Ejercicio 2

Encuentra el punto en el que la función f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 1 alcanza su valor mínimo.

Solución:

Primero, encontramos la derivada de la función:

f'(x) = 6x^2 - 12x - 18

Luego, igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

6x^2 - 12x - 18 = 0

Resolviendo esta ecuación, obtenemos dos soluciones: x = -1 y x = 3. Estos son los puntos críticos de la función.

Ahora, evaluamos la función en los puntos críticos y en el extremo del intervalo:

f(-1) = 31
f(3) = -49

Entonces, el punto en el que la función alcanza su valor mínimo es (-1, 31).

Ejercicio 3

Encuentra los valores máximos y mínimos de la función f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x en el intervalo [-1,3].

Solución:

Primero, encontramos la derivada de la función:

f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4

Luego, igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

4x^3 - 12x^2 + 4 = 0

Resolviendo esta ecuación, obtenemos tres soluciones: x = -1, x = 0, y x = 3. Estos son los puntos críticos de la función.

Ahora, evaluamos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:

f(-1) = 6
f(0) = 0
f(3) = -27

Entonces, el valor mínimo de la función es f(3) = -27 y el valor máximo es f(-1) = 6.

Conclusión

Los ejercicios de máximos y mínimos son un tema importante en el cálculo y las derivadas son una herramienta fundamental para resolverlos. En este artículo, hemos resuelto algunos ejercicios utilizando derivadas y hemos repasado algunos conceptos básicos. Es importante practicar este tipo de ejercicios para comprender mejor las derivadas y su aplicación en el análisis de funciones.

Preguntas frecuentes

¿Qué son los puntos críticos?

Los puntos críticos de una función son aquellos en los que su derivada se iguala a cero o no existe. Estos puntos pueden ser máximos, mínimos o puntos de inflexión.

¿Cómo encuentro los puntos críticos de una función?

Para encontrar los puntos críticos de una función, se iguala su derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante. Los puntos donde la derivada no existe también son considerados puntos críticos.

¿Qué es un valor máximo o mínimo de una función?

Un valor máximo de una función es el valor más alto que alcanza en su dominio, mientras que un valor mínimo es el valor más bajo. Estos valores pueden ser alcanzados en un punto específico o a lo largo de un intervalo.

¿Qué es la regla de la cadena en derivadas?

La regla de la cadena es una fórmula que se utiliza para derivar funciones compuestas. Consiste en aplicar la derivada a cada término de la función y multiplicarlos entre sí.

¿Qué es el intervalo de una función?

El intervalo de una función es el conjunto de valores de su dominio en los que está definida. Por ejemplo, si una función está definida en el intervalo [0,1], significa que solo se puede evaluar en valores entre 0 y 1, incluyendo ambos extremos.