Derivadas en acción: ejercicios resueltos de aplicaciones cotidianas

Las derivadas son una herramienta matemática esencial para la comprensión de muchas aplicaciones cotidianas en las que se requiere calcular la tasa de cambio de una cantidad en relación con otra. En este artículo, exploraremos algunos ejercicios resueltos que ilustran cómo se pueden utilizar las derivadas para resolver problemas en situaciones comunes.

1. Velocidad y aceleración en un viaje en coche

Supongamos que viajamos en coche a una velocidad constante de 60 km/h. Si queremos saber cuánto tiempo tardaremos en recorrer 100 km, podemos utilizar la fórmula de la velocidad:

v = d/t

donde v es la velocidad, d es la distancia recorrida y t es el tiempo transcurrido. Despejando t, obtenemos:

t = d/v

En este caso, d = 100 km y v = 60 km/h, por lo que:

t = 100/60 = 5/3 horas

Ahora bien, ¿qué sucede si queremos calcular la velocidad instantánea en un momento determinado? En este caso, necesitamos utilizar la derivada de la distancia respecto al tiempo, es decir:

v(t) = d'(t)

Si suponemos que el coche mantiene una velocidad constante de 60 km/h, entonces la derivada de la distancia respecto al tiempo es cero, ya que la distancia no varía con el tiempo. Sin embargo, si el coche acelera o frena, la velocidad instantánea varía en función del tiempo.

La aceleración, por su parte, se define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo:

a(t) = v'(t)

Si el coche mantiene una velocidad constante, la aceleración es cero. Pero si acelera o frena, la aceleración es diferente de cero.

2. Crecimiento y decrecimiento de una población

Supongamos que una población de bacterias crece a una tasa proporcional al número de bacterias presentes en un momento dado. En otras palabras, la tasa de crecimiento es mayor cuanto mayor es el número de bacterias. Si denotamos por N(t) el número de bacterias en el momento t, podemos escribir:

dN/dt = kN

donde k es una constante de proporcionalidad. Esta ecuación se conoce como ecuación diferencial de crecimiento exponencial, y su solución es:

N(t) = N0e^(kt)

donde N0 es el número de bacterias en el momento inicial (t=0). Esta ecuación nos permite calcular el número de bacterias en cualquier momento t.

Si la tasa de crecimiento es mayor que cero, decimos que la población está creciendo. Si la tasa de crecimiento es menor que cero, decimos que la población está disminuyendo. La tasa de crecimiento se puede calcular como la derivada de N respecto a t:

dN/dt = kN

Si dN/dt es positiva, la población está creciendo. Si es negativa, la población está disminuyendo.

3. Máximos y mínimos de una función

Supongamos que queremos encontrar el máximo o el mínimo de una función f(x). Para ello, necesitamos encontrar los puntos críticos, es decir, aquellos valores de x para los cuales la derivada de f(x) es cero o no existe. Estos puntos pueden ser máximos o mínimos locales, o puntos de inflexión.

Una vez encontrados los puntos críticos, podemos utilizar la segunda derivada para determinar si se trata de un máximo o un mínimo. Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, entonces ese punto corresponde a un mínimo local. Si la segunda derivada es negativa, entonces el punto corresponde a un máximo local. Si la segunda derivada es cero, entonces se requiere un análisis adicional para determinar el tipo de punto crítico.

4. Optimización de una función

Supongamos que queremos maximizar o minimizar una función f(x) sujeta a ciertas restricciones. Por ejemplo, podemos querer maximizar el área de un rectángulo dado un perímetro fijo, o minimizar el costo de fabricación de un producto sujeto a ciertas limitaciones.

Para resolver este tipo de problemas, podemos utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange. Este método consiste en construir una función auxiliar que incluye tanto la función objetivo como las restricciones, y luego encontrar los puntos críticos de esta función auxiliar.

La función auxiliar se construye de la siguiente manera:

L(x,y) = f(x,y) + λg(x,y)

donde λ es un multiplicador de Lagrange y g(x,y) es una función que representa las restricciones. Los puntos críticos de L(x,y) corresponden a los puntos óptimos de f(x,y) sujeto a las restricciones.

5. Análisis de circuitos eléctricos

En un circuito eléctrico, el voltaje y la corriente están relacionados mediante la ley de Ohm:

V = IR

donde V es el voltaje, I es la corriente y R es la resistencia del circuito. Si queremos calcular la tasa de cambio de la corriente respecto al voltaje, podemos utilizar la derivada:

dI/dV = 1/R

Esta expresión nos indica cómo varía la corriente cuando se varía el voltaje en el circuito.

Otro concepto importante en el análisis de circuitos eléctricos es la capacitancia, que mide la capacidad de un capacitor para almacenar carga eléctrica. La capacitancia se define como la derivada de la carga respecto al voltaje:

C = dQ/dV

donde Q es la carga almacenada en el capacitor.

Conclusión

Las derivadas son una herramienta matemática fundamental para la comprensión de muchas aplicaciones cotidianas, desde la velocidad y la aceleración en un viaje en coche hasta el análisis de circuitos eléctricos. Con la ayuda de las derivadas, podemos calcular tasas de cambio, maximizar y minimizar funciones, y optimizar sistemas sujetos a restricciones. A través de los ejercicios resueltos presentados en este artículo, esperamos haber ilustrado la importancia y la utilidad de las derivadas en la vida diaria.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué son las derivadas?

Las derivadas son una herramienta matemática que se utiliza para calcular la tasa de cambio de una función en relación con otra.

2. ¿Cómo se calculan las derivadas?

Las derivadas se calculan utilizando la regla de la cadena, que consiste en calcular la tasa de cambio de una función compuesta en términos de la tasa de cambio de sus componentes.

3. ¿Qué aplicaciones cotidianas tienen las derivadas?

Las derivadas tienen aplicaciones en campos tan diversos como la física, la economía, la biología y la ingeniería, entre otros.

4. ¿Cómo se utilizan las derivadas en el análisis de circuitos eléctricos?

Las derivadas se utilizan para calcular la tasa de cambio de la corriente y la capacitancia en un circuito eléctrico, lo que permite