Recta tangente que pasa por dos puntos: ¡descubre su ecuación!

¿Te has preguntado alguna vez cómo se puede encontrar la ecuación de una recta tangente que pasa por dos puntos? Este tema puede parecer complicado, pero en realidad es bastante sencillo si conoces los conceptos básicos de la geometría analítica.

En este artículo, te explicaremos cómo encontrar la ecuación de una recta tangente que pasa por dos puntos, así como algunos ejemplos prácticos para que puedas entender mejor el proceso. ¡Vamos a ello!

Conceptos básicos

Antes de entrar en materia, es importante que sepas algunos conceptos básicos que te ayudarán a entender mejor el tema:

- Recta tangente: es aquella que toca a una curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto.
- Derivada: es la tasa de cambio instantánea de una función en un punto determinado. Se representa por f'(x) o dy/dx.
- Puntos: en geometría, un punto es una ubicación en el espacio que no tiene tamaño ni dimensión.

Cálculo de la ecuación de la recta tangente

Una vez que conoces los conceptos básicos, podemos empezar a calcular la ecuación de la recta tangente que pasa por dos puntos. El proceso es el siguiente:

1. Calcula la derivada de la función en el punto de tangencia. Para ello, utiliza la regla de la cadena o la regla del cociente, dependiendo de la función que estés trabajando.
2. Sustituye el punto de tangencia en la derivada obtenida en el paso anterior. El resultado será la pendiente de la recta tangente.
3. Utiliza la ecuación de la recta para calcular la ordenada en el origen (b). Para ello, utiliza uno de los dos puntos por los que pasa la recta y la pendiente obtenida en el paso anterior.
4. Utiliza la ecuación de la recta para obtener la ecuación final, sustituyendo la pendiente y la ordenada en el origen.

Veamos un ejemplo práctico para que puedas entender mejor el proceso:

Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta tangente que pasa por los puntos (2, 5) y (4, 17) en la función f(x) = x^2 + 3x - 1.

1. Calcula la derivada de la función en el punto de tangencia. f'(x) = 2x + 3.
2. Sustituye el punto de tangencia (2, 5) en la derivada obtenida en el paso anterior. f'(2) = 2(2) + 3 = 7. La pendiente de la recta tangente es 7.
3. Utiliza la ecuación de la recta para calcular la ordenada en el origen (b). Utiliza el punto (2, 5) y la pendiente obtenida en el paso anterior. 5 = 7(2) + b. Despejando b, obtenemos que b = -9.
4. Utiliza la ecuación de la recta para obtener la ecuación final. La ecuación de la recta tangente es y = 7x - 9.

Conclusión

Encontrar la ecuación de una recta tangente que pasa por dos puntos es un proceso sencillo si conoces los conceptos básicos de la geometría analítica. Recuerda calcular la derivada de la función en el punto de tangencia, utilizar uno de los dos puntos para calcular la ordenada en el origen y, finalmente, utilizar la ecuación de la recta para obtener la ecuación final.

Esperamos que este artículo te haya sido útil y que puedas aplicar estos conceptos en tus estudios o en tu vida diaria. Si tienes alguna duda, no dudes en dejarnos un comentario.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una recta tangente?
Una recta tangente es aquella que toca a una curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto.

2. ¿Qué es una derivada?
Una derivada es la tasa de cambio instantánea de una función en un punto determinado. Se representa por f'(x) o dy/dx.

3. ¿Qué son los puntos en geometría?
En geometría, un punto es una ubicación en el espacio que no tiene tamaño ni dimensión.

4. ¿Cómo se calcula la pendiente de una recta?
La pendiente de una recta se calcula como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de dos puntos cualesquiera de la recta.

5. ¿Cómo se calcula la ordenada en el origen de una recta?
La ordenada en el origen de una recta se calcula utilizando uno de los puntos por los que pasa la recta y la pendiente de la misma en la ecuación de la recta.